XCIX. - 21 AOUT 1658. 41o

trouve empêchée (comme vous dites sans doute agréablement) à trouver quelque issue pour prendre sa route; et je veux même ([ue le passeport que vous lui avez donné par avance dans votre seconde, de peur ([ue nous n'eussions pas assez de crédit pour lui en fournir un, et même <|ue la route que vous avez eu la honte de lui marquer en cet endroit ('), lui fut si aisée et si commode qu'elle ne fil point difficulté de la suivre, que pourroit-on conclure de lii contre M. Descartes? lequel n'ayant apporté en ce lieu-là les exemples de la balle que pour expli- (|uer certains efl'ets particuliers de la lumière, à savoir celui de la réflexion qui se fait toujours à angles égaux, et celui de la réfraction qui se fait toujours de même sorte dans un même milieu et qui change selon la proportion qui est entre le milieu d'où elle sort cl celui ou elle entre, ce qui fait que tantôt elle s'approche et tantôt elle s'éloigne de la perpendiculaire : qui, dis-je, n'a eu aucune occasion d'expliquer le cas que vous proposez, pource qu'il n'a aucun rapport à son dessein.

2. Il n'y en avoit que trois qui y pussent servir, et il les a tous trois expliqués et, ii mon avis, d'une manière si claire et si simple qu'il n'v a que ceux qui veulent plus que lui qui y trouvent de la difficulté.

Le premier cas, qui explique la réflexion, est celui d'une balle qui, étant poussée suivant la ligne AB, rencontre de biais dans son chemin un corps dur, impénétrable et inébranlable. Qu'y a-t-il de plus simple et de plus clair que cette balle, qui ne perd rien de sa vitesse, doit rejaillir à angles égaux, c'est-ii-dire remonter aussi vite qu'elle est descendue et avancer autant qu'elle faisoit vers le coté où ce corps dur n'est point du tout opposé?

Le second, qui se rapporte à la réfraction lorsqu'elle s'éloigne de la perpendiculaire, est celui de la même balle qui, étant poussée comme dessus, rencontre aussi de biais un autre milieu, dans lequel elle pénètre et qui lui fait perdre une partie de sa vitesse. Quoi de plus clair et de plus simple que de dire que cette balle, ne pouvant plus

(') ^'<«>Lcllic XC.VII, 1, 2.

k\li ŒUVRES DK FERMAT.- CORRESPONDANCE.

aller si vite qu'elle faisoit, doit pourtant conserver la détermination qu'elle avoit auparavant à avancer vers un certain coté, à laquelle ce milieu n'est aucunement opposé, et à quoi la perte qu'elle a souflertc en sa vitesse ne résiste point et se peut accommoder? Pourquoi vouloir (d)liger celte balle à taire plus qu'elle ne doit, puisque la nature ne lait rien en vain?

Enfin le troisième cas, qui se rapporte à la réfraction lorsqu'elle s'approche de la perpendiculaire, et le seul qui restoit à M. Descartes à éclaircir, s'explique heureusement par la même halle qui, étant poussée comme auparavant, rencontre aussi de biais dans son chemin un autre milieu, dans lequel elle pénétre avec une égale facilité de tous côtés et qui augmente sa vitesse d'une certaine quantité. Que peut-on penser de plus simple et de plus naturel que de dire que celle halle, devant aller plus vite (ju'elle ne faisoit selon (|U(dqu'une de ses directions, n'avance pourtant ]ias davantage selon celle à laquelle ce corps, par qui sa vitesse a été augmentée, n'est point du tout op[)Osé?

3. Le cas que vous proposez outre cela dans votre première lellre est superflu et ne peut servir à expliquer aucun de ces phénomènes de la lumii're. Et, par conséquent, il n'est ici d'aucune considération et, quelque inconvénient qui en put suivre, cela ne pourroit préjudicier à ce que M. Descartes a auparavant prouvé, et par quoi il a expliqué si intelligiblement ces elTets merveilleux de la lumière (|ui ne laisseroient pas d'èlre vrais et tels qu'il les a démontrés, quand voire supposition seroit difficile à expliquer par ses principes, ce que je ne déscspi-re pourtant pas de faire, et quand elle se devroit expliquer suivant les vôtres, ce que je n'estime pas.

Mais, pource que c'est en ceci que consiste toute noire question, il faut que j'éclaircisse une fois un point qui vous semble n'avoir pas été prouvé par M. Descartes, à cause que sa preuve n'est |)as purement géométrique, mais qu'elle est en partie fondée sur quel(|ues principes de la nature si clairs qu'ils ne demandent aucune explication.

XCTX. - 21 AOUT 1658. 417

4. Ces principes sont : i° que chaque chose demeure en l'état qu'elle est pendant que rien ne la change; 2° que, lorsque deux corps se rencontrent qui ont en eux des modes incompatibles, il se doit véritablement faire quelque changement en ces modes pour les rendre compatibles, mais que ce changement est toujours le moindre qui puisse être; 3° qu'un corps ne peut résister ou causer du changement dans un autre qu'en tant qu'il lui est opposé.

Ainsi donc, si une balle se meut d'A vers B, dans la figure (') de la page i5, avec une certaine vitesse, elle continuera toujours d'aller avec la même vitesse vers ce côté-l;i si rien ne la change. Mais si vous lui opposez le corps dur, impénétrable et inébranlable CBE, pource que les modes de ces deux corps, l'un qui veut conduire la balle vers D et l'autre qui s'oppose à cette route, mais qui ne s'oppose point à sa vitesse, sont incompatibles, il faut qu'il arrive du changement en un de ces modes, mais le moindre qui puisse être. C'est pourquoi la balle changera de détermination et gardera sa vitesse, et d'autant que le corps CBE n'est opposé qu'à l'une des deux déterminations dont il est vrai que celle de la balle est composée eu égard au corps CBE sur lequel elle tombe, à savoir à celle qui la faisoit descendre et non point à celle de gauche à droite; ce corps ne peut apporter de changement qu'à celle-là et non point à l'autre, à laquelle il n'est point opposé. C'est pourquoi il oblige la balle à remonter et la laisse continuer à s'avancer vers la droite comme elle faisoit auparavant : à quoi il ne change rien, le mode de son corps n'ayant rien d'incompatible et d'opposé à celui-là.

II ne faut plus ajouter à ce raisonnement que ce qui appartient à la Géométrie, et la preuve sera achevée. Si vous n'appelez pas cela preuve démonstrative, je ne sais plus de quelles raisons il se faudra servir pour en composer une; mais, pour moi, je me contente de pareilles démonstrations.

Or, le même raisonnement que je viens de faire se peut accommoder

n. — Fermât. •*•*

à la figure de la page 17 et à celle de la page 19 et à tous les cas qui se peuvent proposer, et je n'y vois rien de différent que les différentes suppositions : à savoir que le corps CEE tantôt est dur et tantôt liquide, tantôt pénétrabic et tantôt impénétrable; que la vitesse tantôt diminue, tantôt augmente et tantôt demeure la même; et que la balle tantôt continue de descendre et tantôt est obligée do remonter, et même que tantôt on peut opposer un corps au cours de la balle et tantôt non.

5. Examinons maintenant ces cas l'un après l'autre suivant ces principes, et voyons ce qui en doit arriver; et je m'assure que l'on ne trouvera point que la chose doive aller comme vous dites, mais bien comme dit M. Descartes, et cela répondra en même temps à toutes vos nouvelles difficultés.

Premièrement, vous dites fort bien, au commencement de votre seconde lettre ('), que si l'on suppose que la balle qui va dans la ligne droite AB diminue sa vitesse par moitié en arrivant au point B, elle ira toujours en ligne droite vers D, si elle continue d'aller dans le même milieu et que le plan CBE ne lui soit point opposé : avec cette différence seulement, qu'elle emploiera depuis B jusques ii D le double du temps qu'elle avoit mis auparavant depuis A jusques à B, et cela à cause qu'un corps doit toujours demeurer dans le même état où il est ou auquel on suppose qu'il soit, si rien ne le change. Or, n'y ayant rien qui change en la balle que la vitesse, ni rien par quoi la détermination doive être altérée plus d'un côté que d'un autre, tout cela fait qu'elle doit continuer dans la même ligne, et aller seulement moins vite selon cette détermination : de même que, lorsqu'un corps tombe perpendiculairement de l'air dans l'eau, il continue d'aller suivant la ligne perpendiculaire et va seulement d'autant moins vite que sa vitesse est diminuée à la rencontre de l'eau.

Si pourtant j'eusse été d'humeur à vouloir chicaner (ce qui ne m'arrivera jamais lorsque j'aurai affaire à une personne d'honneur et de mérite comme vous), j'aurois pu nier que le cas que vous proposez

(1) LeUreXCVII.