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autres qui demandent des nouveaux principes pour y appliquer la descente, et la recherche en est quelquefois si malaisée qu'on n'y peut venir qu'avec une peine extrême. Telle est la question suivante (|uc Bachet sur Diophante avoue n'avoir jamais pu démontrer, sur le sujet de laquelle M. Descartes fait dans une de ses lettres la même déclaration, jusques là qu'il confesse qu'il la juge si (liffîcile qu'il ne voit point de voie pour la résoudre (').

ToiU nombre est qnarrc ou composé de deior, de trois ou de quatre quarrés.

Je l'ai enfin rangée sous ma méthode et je démontre que, si nu nombre donné n'étoit point de cette nature, il y en auroit un moindre qui ne le seroit pas non plus, puis un troisième moindre que le second, etc. à l'infini; d'où l'on infère que tous les nombres sont de cette nature.

4. Celle que j'avois proposée ii IM. Frenicle et autres (^) est d'aussi grande ou même plus grande dilttculté : Tout nombre non quarré est de telle nature qu'il y a injîrns quarrés qui, multipliant ledit nombre, font un quarré moins i. Je la démontre par la descente appliquée d'une manière toute particulière.

J'avoue que M. Frenicle a donné diverses solutions particulières cl M. Wallis aussi, mais la démonstration générale se trouvera par la descente dûment et proprement appliquée : ce que je leur indique, afin qu'ils ajoutent la démonstration et construction générale du théorème et du problème aux solutions singulières qu'ils ont données.

5. J'ai ensuite considéré certaines questions qui, bien que négatives, ne restent pas de recevoir très grande dillîculté, la méthode pour y pratiquer la descente étant tout à fait diverse des précédentes, comme il sera aisé d'éprouver. Telles sont les suivantes :

// n'y a aucun cube divisible en deux cubes (').

( ' ) f'oir la noie de la pasic 403. («) Foir Pièces LXXX cl LXXXI.

(') Foir Observ. II sur DiopliaïUe.

Kebmat. — II. 33

// n'y a qu'un seul quarré en entiers qui, augmenté du binaire, fasse un cube. Le dit quarré est 25.

// n'y a que deux quarrcs en entiers, lesquels, augmentés de 4, fassent un cube. Los dits quarrés sont 4 et 121 (').

Toutes les puissances quarrées de 2, augmentées de l'unité, sont nombres premiers (^).

Cette dernière question est d'une très subtile et très ingénieuse recherche et, bien qu'elle soit conçue aiïirmativement, elle est négative, puisque dire qu'un nombre est premier, c'est dire qu'il ne peut être divisé par aucun nombre.

Je mets en cet endroit la question suivante dont j'ai envoyé la démonstration à M. Frcnicle, après qu'il m'a avoué et qu'il a même témoigné dans son Écrit imprimé (^) qu'il n'a pu la trouver :

Il n'y a que les deux nombres 1 et -j qui, étant moindres de l'urnté qu'un double quarré, fassent un carré de même nature, c'est-à-dire qui soit moindre de l'unité qu'un double quarré.

6. Après avoir couru toutes ces questions, la plupart de diverse nature et de différente façon de démontrer, j'ai passé à l'invention des règles générales pour résoudre les équations simples et doubles du Diophante.

On propose, par exemple,

2Q + 7967 égaux à un quarré.

J'ai une règle générale pour résoudre cette équation, si elle est possible, ou découvrir son impossibilité, et ainsi en tous les cas et en tous nombres tant des quarrés que des unités.

(') roir Lettre LKXXIV, 5. Cf. Observ. XLII sur Diophante.

(2) roir Lcllic XCVI, 3, 1°.

(') Cet Écrit, aujourd'liui introuvable, était intitulé Solulio duorum pmblcmalum de, dédié à Kenelm Digby, et commençait comme suit : /i'ii libi, Vir Illustrissime, Luictia prœhet.... Deux exemplaires en arrivèrent eu Hollande, pour Schooten et Ihiygens, le ■26 octobre 1657. lîn Angleterre, Brouncker en reçut un seulement en décembre.