UEUTION DES NOUVELLES DÉCOUVERTES EN LA SCIENCE DES NOMBRES (M

... 1. Et pour re que les méthodes ordinaires, qui sont dans les Livres, étoicnt insuiïisantes à démontrer des propositions si difficiles, je trouvai enfin une route tout i» l'ail singulière pour y parvenir.

J'appelai celte manière de démontrer la descente infinie ou indéfinie, etc.; je ne m'en servis au commencement que pour démontrer les propositions négatives, comme, par exemple :

Qu'il n'y a aucun nombre, moindre de l' unilé qu un multiple de 3, (jui soit compose d'un quand et du triple d'un autre quarré;

Qu'il n'y a aucun triangle rectangle en nombres dont l'aire soil un nombre quarré (-).

La preuve se fait par à-ayojyrjV d^ àoûva-ov en cette manière : S'il y avoit aucun triangle rectangle en nombres entiers qui eiil s(ui aire égale ii un quarré, il y auroit un autre triangle moindre q(u; celui-là qui auroit la mémo propriété. S'il y en avoit un second, moindre que le premier, qui eût la même propriété, il y en auroit, par un |>areil raisonnement, un (roisii'me, moindre que ce second, qui auroit la même propriété, et enfin un (juatrième, un cinquième, etc. à l'infini en descendant. Or est-il qu'étant donné un nombre, il n'y en a [)oint infinis en descendant moindres que celui-là (j'entends

(') Piihliùe pour la première fois par M. Charles Henry (Her/icrc/ics, p. 9.i3-2i6), d'après une copie do la main do Iluygens. CeUe pièce avait élé envoyée « depuis peu » par Fermai à Carcavi, lors(|uo celui-ci la communiqua li lluygens, le i4 août iliSg.

(-) roir Observ. XLV sur Diophantc.

'i3-2 ŒLVllES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

parler toujours dos uombrcs entiers). D'où on eonclut qu'il est donc impossible qu'il y ait aucun triangle rectangle dont l'aire soit quarrée.

On infère de là qu'il n'y en a non plus en fractions dont l'aire soit quarrée; car, s'il y en avoit en fractions, il y en auroit en nombres entiers, ce qui ne peut pas être, comme il se peut prouver par la descente.

Je n'ajoute pas la raison d'où j'infère que, s'il y avoit un triangle rectande de cette nature, il v en auroit un autre de même nature moindre que le premier, parce que le discours en seroit trop long et (|ue c'est là tout le mystère de ma méthode. Je serai bien aise que les Pascal et les Roberval et tant d'autres savans la cberchent sur mon indication.

2. Je fus longtemps sans pouvoir appliquer ma méthode aux ques- (ions affirmatives, parce que le tour et le biais pour y venir est beaucoup plus malaisé que celui dont je me sers aux négatives. De sorte que, lorsqu'il me fallut démontrer que tout nombre premier, qui surpasse de l'unité un multiple de f\ , est composé de deux quarrés ( ' ), je me trouvai en belle peine. Mais enfin une méditation diverses fois réitérée me donna les lumières qui me manquoient, et les questions affirmatives passèrent par ma méthode, à l'aide de quelques nouveaux principes qu'il v fallut joindre par nécessité. Ce progrès de mon raisonnement en ces questions affirmatives est tel : si un nombre premier [)ris à discrétion, qui surpasse de l'unité un multiple de 4. n'est point composé de deux (juarrés, il y aura un nombre premier- de même nature, moindre que le donné, et ensuite, un troisième encore moindre, etc. en descendant à l'infini jusques à ce que vous arriviez au nombre 5, qui est le moindre d(î tous ceux de cette nature, lequel il s'eusuivroit n'être pas composé de deux quarrés, ce qu'il est pourtant. D'où on doit inférer, par la <léduction à l'impossible, que tous ceux de cette nature sont par conséquent composés de deux quarrés.

3. 11 y a infinies questions de cette espèce, mais il y en a quelques

( ' ) /■«(> Observ. VU sur Dioplianto.