FERMAT A BILLY

(Biljliolhèi|ne nationale, latin 8Goo, fol. i3, autographe.)

Mon Révérend Père,

Je suis bien aise que mes solutions vous ayent pieu et je vous remercie des éloges que vous me donnés, bien que je recognoisse do bonne foi que vous en usés avec un peu trop de profusion. Peustestre serés vous plus surpris de ce que vous allés lire sur le subject de vostre nouvelle question que vous énoncés en ces termes :

Treuver trois nombres dont le solide estant osté de chacun d'eux et de

( ') Bacon, De dignitate et angmcntis scienlinrum, L. VI, cap. i.

(') Voir page 35, note -2.

(») Publiée pour la première fois par Libri {Journal des Savants, iSSg, p. 548).

eu. — 2G AOUT lGû9. W"

chacune de leur différence, et du produicl du second par le premier ou par le dernier, ou du quarré du milieu, il se fasse tousjours un (/uarrè.

Ces trois nombres sont 5> i, ^^

Vous adjoustés cnsuittc, après avoir cstendu vostre méthode, que vous ne croyés pas qu'il y aist au monde trois autres nomlires qui satisfassent il la question, et vous désirés estre esclairci par moi si vous vous trompés en cette créance.

Je vous respons, mon Père, que cette question reçoit infinies solutions et que la double esgalité à laquelle vous la réduisez :

lAA — A+i Cl lAA — 3A4-1,

chacun desquels termes doit estre faict égal ii un quarré, peut estre résolue en infinies manières.

Je vous advouc que la méthode dont je me sers pour cela n'est pas dans les livres, et que c'est une de mes inventions qui a quclquesf'ois estonné les plus grands maistres et particulièrement Monsieur Frenicle, que j'estime très profond dans la cognoissance des nombres. Mais, puisqu'il semble que Diophante, Viete, Bachet et touts les autres autheurs dont les ouvrages sont venus jusques à moi, n'ont sçu qu'une seule solution en cette nature de questions, je ne suis point surpris que vous, mon Père, quoyque d'ailleurs très habille par l'adveu de touts les sçavants, n'ayés point tenté d'estendre vostre cognoissance au dessus de celle que donnent les livres.

Vous changerés sans doute d'advis par mon indication, et vous ne croirés pas cette nouvelle descouverte indigne de vostre recherche, principallement lors que je vous asseurcrai, comme je fais à l'advance, que ma méthode est generalle et qu'elle sert à résoudre un nombre infini de questions qui ont esté jusqu'ici entièrement abandonnées.

Voici trois nombres différents des vostres qui satisfont îi vostre question et qui peust-estre vous donneront l'accès aux solutions infinies.

Le premier de ces trois nombres est ^ l-c' 'c second est i, le troi-

sieme est . „,.î:-

Je suis de tout mon cœur. Mon Révérend Père, vostre très humble

et très acquis serviteur.

Fermât.

A Tolose, le 26 A' iGSg.

(Adresse) : Au révérend père, le père liilly, de la compagnie de Jésus, à Dijon.

cm.

FERMAT A CARCAVl (').

< AouT 1659. >

{Correspondance Huy^ens, n' 699.) (Bihl. Nat. fr. i3o'|0, f° 130.)

... Si la ligne spirale n'est pas égale à la parabolique, elle sera ou plus grande ou plus petite.

Soit premièrement plus grande, s'il est possible, et que l'excès de la spirale sur la parabole soit égal à X, dont la moitié soit Z.

Soient inscrites et circonscrites h la parabole et à la spirale des figures comme en la précédente (^), en sorte que la diflerence entre les inscrites soit moindre que Z, et que la difTérence entre les circonscrites soit aussi moindre que Z ; nous aurons cinq quantités qui vont toujours

(') Publiée pour la première fois par M. Charles Henry ( Rechcrclies , p. 174-176). — Co fragment, envoyé par Carcavi à Huygens dans une lellrc datée du i3 septembre 1659, esi le développement du dernier théorème de VEi^aliié entre lex lignes spirale et parabolique démontrée à la manière des anciens, laquelle fait partie des Lettres de A. Detlonville (Œuvres de Pascal, V, pp. 421 à 453). La démonstration de Pascal, beaucoup plus brève, est faite également par l'absurde, mais sans hypothèse sur le sens de l'inégalité entre la spirale et la parabole.

(*) Fig. 38 des Lettres de Dettonville; voir ci-après fig. gS.

cm. - AOUT 1G59. 439

en augmentant, savoir : l'inscrite en la parabole, la parabole, la circonscrite il la parabole, la spirale, et la circonscrite à la spirale.

Car il appert que la seconde, qui est la parabole, surpasse son inscrite et que la circonscrite ii la parabole surpasse la parabole.

Or il paroit que la quatrit^me quantité, qui est la spirale, surpasse aussi la circonscrite à la parabole : car, puisque (') l'inscrite en la parabole dilTere de la circonscrite îa la même parabole d'une ligne moindre qup Z (ainsi que M. Dettonville l'a démontré), a /oriton la parabole même diffère de la circonscrite de moins que Z. Or, par la supposition, la parabole est moindre que la spirale et la diiïérence est 2Z. Donc, puisque la différence entre la parabole et sa circonscrite est moindre que la différence entre la môme parabole et la spirale, la circonscrite à la parabole sera moindre que la spirale.

Laquelle spirale étant aussi moindre que sa circonscrite, il paroit que ces cinq quantités, à commencer par l'inscrite en la parabole, vont toujours en augmentant.

Mais puisque l'inscrite en la parabole diffère de la circonscrite d'une ligne moindre que Z, et que, par la construction, la circonscrite susdite il la parabole diffère aussi de la circonscrite à la spirale d'une ligne moindre que Z, donc l'inscrite en la parabole diffère de la circonscrite il la spirale d'une ligne moindre que 2Z.

Nous avons donc la première et la cinquième de ces cinq quantités, qui sont la plus petite et la plus grande, qui diffèrent entre elles de moins que de 2Z. Donc, a fortiori, la seconde et la quatrième, qui sont la parabole et la spirale, diffèrent d'une ligne moindre que 2Z et par conséquent moindre que X; ce qui est contre la supposition.

Donc la spirale n'est pas plus grande que la parabole.

Qu'elle soit, s'il est possible, moindre que la parabole, et que l'excès soit X ou 2Z. Il faut faire les inscriptions et circonscriptions comme en la précédente partie de la démonstration. Nous trouverons ici cinq quantités qui vont toujours en diminuant : la circonscrite à la para-

(') D'après le corollaire qui, dans les Lettres de Dettonville, précède immédiatemeiit le théorème repris par Fermât.

i)ole, la parabole, l'inscrite en la parabole, la spirale, et l'inscrite en la s|)irale.

La première paroit évidemment plus grande que la seconde et la seconde que la troisième.

Or on voit aussi (jue la troisième, qui est l'inscrite en la parabole, surpasse la spirale : car, puisque, par la démonstration de M. Dettonville, l'excès de la circonscrite ii la parabole sur l'inscrite en la parabole est moindre que Z, a fortiuriV oxchs de la parabole sur son inscrite est moindre que Z.

Or, la parabole étant plus grande que la spirale, et son excès sur la dite spirale étant, par la supposition, iZ, la parabole surpasse la spirale d'une plus grande quantité que celle dont elle surpasse l'inscrite en la parabole, et, partant, l'inscrite en la parabole est plus grande que la spirale.

Nous avons donc cinq quantités qui vont toujours en diminuant, savoir : la circonscrite ii la parabole, la parabole, l'inscrite en la parabole, la spirale", et l'inscrite en la spirale. Or la circonscrite à la parabole dilTère de son inscrite de moins que Z, et l'inscrite en la dite parabole diiïère aussi, par [la construction, de l'inscrite en la spirale de moins que Z. Donc la circonscrite îi la parabole, qui est la première (les cinq quantités et la plus grande, diffère de la dernière des dites quantités, qui est la plus petite, d'une ligne moindre que aZ. Donc, o fortiori, la seconde quantité diffère de la quatrième, c'est-k-dire la parabole de la spirale, de moins que de 2Z, c'est-à-dire de moins que de X : ce qui est contre la supposition.

D'où il résulte que la spirale n'est pas plus petite que la parabole; et partant, puisqu'elle n'est ni plus petite, ni plus grande, elle est égale, ce qu'il etc.