OBJFXTA A DOMINO DF. FERMAT

AnVKtlSUS PROPOSITIONEM MliCUANlCAM DOMIxNt DI-: ItOBERVAL {■').

< DÉCF.MBRE l636 >

Si vera essel propositio mcelianica Doinini de lîohervai, in rcclc ipiolihcl pondéra perpendiculis a ecntro veclis in lineas direclioiuirn deniissis

( ' ) Pappus. IV, 22 ( éd. IIiiUscli, pp. 2^2 cl 24O), lîiitociiis (Coiniii. iii lib. Il de s|iliirru ol cylindro : Arcliinicdc. éd. Heiljci'g, vol. III, pp. 117, 119, 120, 12'.) n'iiidiipicnl rien sur le sens de la coiicavilé do la conclioïde : l'observation do Fcnnal no porlc donc c|iio sur les figures fautives des manuscrits reproduites dans le Pa|)pus do ('omniandin ol Aaw^ 1rs anciennes éditions d'Arcliimcde (p. ox., celle de llivault, Paris, i(ii j).

(-) Celte Pièce parait avoir clé envoyée à t>arcavi, au cominencenienl de déconilirc iii Ui I îKi//' Lettre WII, 1 ) comme réplique à la Lettre XIV de Uobcrval.

esse rcciproce proportionalia (t(l aslnicndarn qiiictcm, non posscl sul)sis- Ici'o |»r()|)oi'li() i^rîivis ad potcntiain in piano inclinato, quam in Libello siio (' ) Irailidit. Hoc pcrspicuo dcnionslramus :

In prima ligiira (fig. 4<>K <?slo punclum in suporticic telliiris N, ccnlrnin (cri-a' H. .Innclà NH, dncatur ANGF porpcndicularis ipsi HN,

(|iiani ([iiidcni ANGF ii qui stint in pnnclo N vocanl parallelam hori- /.oiili. Kx|)onanliirs]»luera' ([iiaruni ccnlra 15, ('., D, qu;e tangant rectani, sivc planiini pcr ANGF, in pnnclisN, G, F.

Palet priinum sphicram B a inininia polcnlia tnovori. idqiio Dominns de IloIxM'val non diflilotur, et in |)nneto N eollocatani nianere, sed in nnllo alio totius plani puncto idem aecidil.

Pei'lieiatnr figura, ut hie, vides. Ue(-la IIG, conncctens punctum conlaelùs G et centrum ternv H, ad reelam (>G facit anguluni obtusum, ideoqu(' splia>ra C ad partes GN movehitur. Idem de sphicra D. Sit igitnr potentia in Z retinens splia'ram G per motum recta* ANGF parallelum, aul, (juod idem est, per rectam 7A\. Inteliigalur vectis ciijus centrum tixnm G ; duealnr in HC pcrpendicularis G!.

Spli;cra) C motus naturalis est pcr rectani GH; motus retinens per GZ. ad (|uam pcrpendicularis est GG : ergo, ex suppositis Doniini de Kditerval, est [rcciproce]

Ml recta CI ad reclaiii CC, ila potentia retinens in Z ad sphaîram (]. Qiiod erat demonstrandum.

C) 11 s'agil du Traite de Mcchaiiique do llobeival. l'nir Leitrc Vil, 4, noie i.

Wll.

7 DÉCEMIJHK 1G3G.

In sphii'i'a autt'iii I) major rcquirotiir polcnliaad iiiinciuliiin (i.(|ii(i inagis (lislalii( a piinclo N, r<> majore potonlia opns cril, (|iio(l es! mira- I)il('. K\ siippositionc aii(('iii Domini de liohcival, iiiin(|iiaiii in codcm piano variai proi»orli(>; quod qnàiii lonptc altcat a vcrilalc, ipscvidoril.

Sil con (rum terra' li[ Jig. /17), plan u m inclinalum AdDIv In |)iinclis A (i"(", eamilem potenliam relinere, poleral forlasse non incon^rnum

videri Domino de lloherval. Sed, dnclo perpendiculo HU, ([uum in [(nnclo 1) sit quies et minima potentia relineat, (|uâ ralione eonstabil ipsins proposilio?

In qnolilx'l autem piano lialict locnm nostra deinonstralio. Omne qni|)pe planum alicui liorizonti invenietur parallekim.

Hae proposition!' evertitur dcmonstratio Domini de lioherval et l»revissimà via ad ipsins hypothèses nova [)roporlio detei^itnr.

Secundam tiguram addideramus, ([uà jndicium noslrnm de ipsins nltima [iro|)ositione prodere s[ieral»amus. Sed non suppetil lempiis.

Wll.

l'Kn.MAT A UOHKKVAL.

iiiMA.Nciii; 7 ni'iCKMRiii; iii.jii.

(r-„, |.. i'i7-i'|.s.) .MoNSIICI II,

1- Apri's vons avoir assnré (|ne je n'ai jamais songé de sonli'nir uni' npini(Hi contre mon senlimenl l't (|ne je serois ra\ i (jue votre propoh'i.ii.MAT. — n. ' "^

90 ŒUVRES DE FERMAT.- CORHESPOND/VNCE.

sition niécliani(|iio (') tut vraie, afin que nous ne i'ussions plus en ])oine de sonder la nature par cet endroit, je m'en remettrai du surplus à la lettre (jue j'écris à M. de Carcavi, à laquelle j'ajouterai seulement que le dernier des principes dont vous vous servez pour l'étahiisscmcnt de votre proposition ne me semble du tout point admissible et que, sans aucun esprit do contradiction, j'estime que, pour établir la proportion des poids qui se meuvent librement, on ne doit pas avoir recours aux forces mouvantes, et qu'au contraire les poids libres doivent servir de règle à tous les autres mouvemens violents; et c'est en quoi je trouve que votre principe est défectueux, outre qu'il est apparemment faux, puisque celui dont je me sers en sa place ne |)eut, ce me semble, être contredit, et de cela j'en fais juge qui que ce soit.

Sil redis BD(J (fi g. 48), ciijus médium D, cenlrum lerrœ A.; sit. auteni recla DA vecti perpendicularis et sint œqualia pondéra B et C, ad centrum

lerrw per reclus BA, CA naturaliter annucntia ; suspendatur aittem redis n piincto D cl a qiMvis potentia retineatiir : Aio idem ponderare B cl C, corpora ila constilitla ar si amho in ptinclo D ah eadem pnlcnlia dctincanlur.

Car, puisque la ligne BC est sans |)oids et que la puissan(;e (|ui est en D abslraliit a cciilro, où au contraire les poids B et (\, snc sinl m piinclis B cl {], sive in punclo D, tiergunt ad centrum motu opposilo. il s'ensuit clairement que la puissance qui retiendra les poids aux points B et V. les retiendra aussi en D, et vice versa.

; ' ) roir LeUre XIV, 2, cl Pièce XVI.

WII. - 7 DÉCEMBRE 1636. 91

Et n'importe d'alléguer qu'il semble que le mouvement qui se fait par des puissances parallèles à la ligne DA est aussi bien contraire au mouvement qui se fait sursum par la puissance qui retient en D : car,

1° Il n'est pas si probable de dire qu'un mouvement violent est contraire à un autre mouvement violent, comme de dire qu'un mouvement violent est contraire au mouvement naturel.

2° Le mouvement qui se fait sur les lignes parallèles à DA se fera sur des plans incl.inés à l'iiorizon et desquels la proportion sera plus inconnue que le principe; de sorte que ou il vous faut avouer la vérité de mon principe ou démontrer le voire. Au premicrcas, je vous démontrerai ma proposition de mon second levier, par vos propres maximes; j'estime que vous aurez grande difficulté au second.

Vous pouvez encore répondre qu'il n'est pas ici question des mouvemcns qui se font sur des plans inclinés à l'horizon, parce que vous supposez, et je l'accorde aussi, qu'en tout mouvement, si la force qui retient tire à l'oppositc, l'équilibre se fera lorsqu'elle sera égale h la force qui tire au contraire, et qu'ainsi, la puissance en D tirant à l'oppositc, l'effet de votre principe s'en ensuivra.

Mais je réponds que votre réponse seroit bonne, si la puissance qui est en D étoit divisée et placée aux points B et G, et qu'elle tirât au contraire par les mêmes lignes que les forces, que vous supposez en C et B, meuvent. Mais cela n'étant pas, excusez mon incrédulité si elle ne se rend pas à vos raisons, lesquelles je soubaiterois plus fortes pour pouvoir librement me dédire de tout ce que j'ai fait sur ce sujet, vous protestant que jamais homme n'a été plus docile que moi et que, lorsque je reconnoitrai mes taules, je les publierai le premier avec toute franchise.

2. J'ai été bien aise de voir votre remarque sur la conchoïde ('), et vous prie de m'en donner la démonstration et vous souvenir que, lorsque je vous écrivis sur ce sujet, je le fis en doutant et sans examiner l'écrit que je transcrivis d'un livre où je l'avois mis il y avoit

(>) To/r LcUre XIV, 8.

92 Œ(IVI{i:S 1)1' l'KlîMAT. - CORRESPONDANCE.

qualrc ans. La (•(iiisiriiclion pourtant convient au prohli'nic et an point nirinc de voiro proposition, si ollc est vraie, l'c que j'attends (|iie vous nie (■(uitiriniez.

.le vous prie aussi me l'aire savoir votre senliuKMit sur les autres propositions ((lie je vous ai envoyées et votre réponse sur les autres points (|(^ ma (lei'nil're Leil re ( ' ) et me croire toujours etc.

Wlll.

FERMAT A UOBERYAI..

>UHIII 1<) DfiCEMBRi; lG36.

( / it, p. ] '|S-i jl.)

MONSIEUU,

1. Je viens (le recevoi r votre J.eltre tlu 29 novembre (-), pour réponse il laquelle je vous dirai que, de la méthode que vous ave/, trouvée pour donner la somme des ({uarrécubes et ((uarréquarrés, je ne vois point (|u'on en puisse tirer une règle générale pour l'invention de la somme omnium poteslalam in infinitum. ce qui est requis à la solution de mon problème (^). (lar vous dites seulement qu'il sera aisé de trouver les autres, après avoir vu celles dont vous baillez les exemples: mais je demande une méthode générale qui serv(\ ad omncs potcslales, comme Vii'te a trouvé celles des sections angulaires (*). Vous y songerez, s'il vous plaît, et j'en écrirai cependant l'invention et démonstration (|ue vous verrez lors([u'il vous plaira.

(!) Lettre XV.

("-) Celle Lettre, île lioherval ;i Fcniial, est perdue. (») Foir Lettre XV. 3.

('•) tM'ancisci VioUn ail an^iilares secliones llieoreiiinta zaOoXr/.ojT:f.a demonstrala (ler .\le\aiuiruin AiuJersDiiiiin. — l'iiges; ■>87 à îo', de l'édilion dos lil/evirs.

XVÏII. - 16 «ÉCKMIÎRE IG3C. 93

2. Pour co qui est dos nombres et de leurs parties aliquot(>s ('), j'ai trouvé nue niétliode générale pour soudre toutes les questions par algèltre, do quoi j'ai fait dessein d'écrire un petit Traité, .le erois ((ue vous aurez maintenant vu la construction des deux ([uc j'ai envoyés au Père Morsenne; car il m'écrit qu'il vous les baillera. Toutes ces (]uestions sont Iri-s difticilos, comme vous savez, el n'ont été traitées par personne.

3. ,1'ai été bien aise d'être confirmé par votre lettre en ro[»inion (|uo j'avois déjà conçue de .M. de ■< Sainte-Croix >. Il est pourtant vrai (ju'il doit avoir grande expérience dans les nombres, car, lui ayant par reutromiso du Père Morsenne proposé une question que personne do ceux à qui je l'avois proposée n'avoit encore pu soudro, il m'a envoyé d'abord les nombres qui satisfont à la question, sans pourtant expliquer sa construction. La question est (^) :

Jincnirc tria trlangula rectangula numéro, quorum arciv consliluanl Iria latcra triait guli rec/angu/i numéro, singuke nempe arca: singulis lalerihus sint œqualcs.

Je vous avouerai ([ne ce problème me donne beaucoup plus tic [)eino (|u';i M. do <^ Sainte-Croix >. Il esl vrai que les nombres (juo j'ai trouvés sont dilférenls des siens et que peut-être ai-je tenu un cbemin |tlns diflicilo. comme vous savez que ces questions ont infinies solutions. Peut-être serez-vous de mon avis, si vous essavez de satisfaire à la proposition.

4. Vous verrez aussi mes spirales (^), desquelles la démonstration vous sera connue tout aussitôt (car elle est pareille ii celle dos nouvelles figures ( ' ) que j'ai (juarrées ou auxquelles j'ai trouvé des cônes

(' ) l'oir Lellrc XV, 4. — Les deux nombres oiivoycs au Père ML'rscuiie sont les <iiniablc.\ f~>Sfi Cl l84l(j (voir IV,v et IVii).

{-) f'oir OhscrviUion XXIX ?iir Didiilianli- fToine I, p. Z-fA). (') T'oir I.oUre XV, 6.

( ♦) f'oir LcUre XIV. 4.

égaux), et vous m'avouerez que ces propositions n'illustrent pas peu la Géométrie.

Si M. de Beaugrand n'a pas eneoro trouvé la démonstration de ces qiieslions, vous m'obligerez de lui en l'aire part.

5. .le lui ai écrit rinvention du centre de gravité de toutes ces nouvelles tigures(') par une méthode particulière», qui ne suppose point la connoissance de la quadrature, ce qui vous semblera merveilleuK jusques ii ce que vous l'aurez vu. Il est vrai que je lui ai envoyé l'analvse seulement et non pas la composition que je vous éclaircirai une aulre l'ois, parce qu'elle a ses dillicultés et ne paroit pas d'abord pai' celte voie.

.l'ai trouvé le centre de gravité de la parabole sans présupposer la (|uadrature, comme a fait Archimèdc, et ainsi on en peut lircr la qua- (li'alurc par un simple corollaire.

6. Toutes ces propositions, ensemble celles des lieux plans, solides ("1 ad supcrfîciem, (jue j'ai achevées, et celles encore des j)arties ali- ((iioles des nombres, dépendent de la méthode (^) dont M. Despagnel ne vous a |)u l'aire voir qu'un seul cas, parce que, depuis que je n'ai eu l'honneur de le voir, je l'ai Ijcaucoup étendue et changée.

7- Les tangentes des lignes courbes dépendent aussi de là, sur lequel sujet je vous proposerai de trouver une tangente ii un point donné en la seconde conchoïde de Nicomi-de (^).

8. An reste, je suis bien aise de ce que vous ayez trouvé la démoii-

(•) Foir I.eUro XV, 5.

(2) T'oir LoUro XIII, 3.

(') Foir LcUrc XVll, 2. — La seconde conclioïdo de Nicomèdo (Poppiv:, éd. llultseli.

|i. 2(4, '• '9) !)arait correspondre à l'équalion en coordonnées polaires : p = — — — /•', en

supposant b<ia. (La Iroisièmo et la quatriénic répondraient rcspeclivcment aux cas : /> — ti; h > n). Mais Fermai entend proljablemenl ici la conclioïïie du cercle. {Comparez Viélc, Supplciiicntuin Gcometriœ, édition des El/.cvirs, page î.4o.)

XVm. IG DÉCEMBRE 1636. 95

slration, comme vous dites, de ce que, supposé qu'aux paraboles les scgmens (') de l'axe sont entre <nix comme les parallélogrammes aux mêmes paraboles, il sera vrai aussi qu'étant tournées sur leurs axes, les centres des solides seront où l'axe est divisé en raison comme les cylindres aux solides (- ).

Car, |»ar la voie dont j'ai envoyé un exemple à M. de Beaugrand, et que je mettrai au long une autre fois, j'ai trouvé la démonstration de l'antécédent cl, de celle du conséquent, que vous m'envoierez, s'il vous phiil, j'en tirerai la proportion des solides paraboliques à leurs cônes, qu'il seroit malaisé de trouver autrement (''). Car vous trouverez bien la proportion de ceux qui viennent^o*/ quadrala aller natim, comme quarréquarrés, cubocubes etc., de quoi vous baillez l'exemple au premier; mais in paraholis cubicis, ijuadratocubicis cl sic altcniis in inji/iilum, melhodus qiia usi sumus non dat proportioncm conoideôn ad conos; ex nostra aulein methodo, in omnibus omnino conoidibus imrnunus centrum gravitalis : ergo, ex tua propositiunc, dabilur proporlio eorum ad conos.

Je l'allends donc avec impatience, puisqu'elle doit servir à cet usage; si ce n'est que vous ayez trouvé la proportion des conoïdes cubiques, quadratocubiques, etc. à leurs cônes, ce que votre Lettre semble marquer, auquel cas je vous supplie m'envoyer lesdites proportions.

Ce n'est pas que je doute de la vérité de votre proposition; mais permettez-moi de vous dire que; je me suis délié que vous en eussiez trouvé la démonstration et que j'ai cru seulement que vous en avez fait l'expérience aux conoïdes paraboliques des quarréquarrés, cubo-

(') C'esl-à-dirc que le cenu-e de gravité de l'aire ni y dx de la parabole j'" = p.r divise l'abscisse x dans le rapport m-\- \ ix m. (, '-) C'esl-à-dirc que le centre de gravité du solide tc / y'^Ux engendré par la parabole

■)•" = px divise l'abscisse x dans le rap|iort m -i- 2 à m.

(')D après ce passage, Fermât n aurait alors possédé la quadrature J x-"' tU- (pie dans le

cas où m est pair.

riihcs de. altcrnis. IMais hi coniioissancc quo j'ai clo votre savoir fait (|U(' j'ospèro (|iic vous me détromperez.

9. Pour ce (jui est de la proportion (' ) du solide qui se fait sur un diamètre de la parabole parallèle à l'axe, ma construction est diiïcrenic <lr la votre : il seroit inutile de l'ajouter, puisqu'elles concluent toul(^s i\v\\\.

10. Je me trouve obligé d'ajouter un mot touchant votre proposilion méchanique (-), parce que le Père Mersenne m'écrit qu'enfin j'ai acquiescé ;i votre opinion, ce que pourtant je ne saurois faire par les raisons que vous allez voir, et vous puis assurer que jamais je ne fus mieux confirmé en la proposition de mon second levier (^) que je le suis maintenant, car, pour celle du premier, il la faut établir par de nouveaux principes, puis()ue vous avez nié ceux que j'estimois si (dairs.

Si votre pi'incipe, duquel je vous ai déjii écrit par ma dernière Lettre (''). est vrai, il s'ensuit manifestement qu'un même corps approchant du centre de la terre changera son poids.

/// secunda figura (tig. 49) *'' vectis CAB, ciijits incdiiim A curn cc/ilro Icrrœ N pcr reclain AN, ad vcclcin pcrpendiculai'cni . iungaliir. In

piinctis V. et ^pondéra C. et B cvqaalia rnnsliliiaiititr cl sunilia . (jiuv ad rcnlriim pcr reclas CN, BN anmiant.

I ' ) l*ro|)orlinn au cvliiiclrc ou ;ui coiic île niôiiio Inisp cl iiiêiuc luiiiU'iir, c'osl-;i-diri' cii-

( -) loir Pu'-ce \VI.

(') rmr Pièce V, 2 el 5.

(■• ) loir LcUre XVII, 1.

Wlll. - 10 DKCKMIîP.E 1(130. i)"

■SV rcrLœ NC, NB csscnt ad vccicrn perpendicularcs, polcntta in iV, (Vifualis duobiis pondcribitsW et (!, ex tuo principio deliiicrel l'cclcm. Sed, (puuii aagidos m\k, ^MS. aciilos efjîcinnt, aat eadem aiil tninor aul majorpolentia requiretur in A ad airpàlibrinm.

Si eadem polcn lia facil œr/udd/nti/n, ventni erit prificipiiiin qito in pnecedenli ad te epistola usi siunus : (piod si falearis, slatim vcctcm iiostruru dcrnoiistrabimiis .

Si major aul nnnor polcnlia a'qudibiiiim coiislitttil, er^o. in primo casa, qitô niiniic/ilur magis angidi rectarum CN, BN rum ix'clc, rô major reqiiireliir ad œquilibrium potenlia ; in secundo casa, minor. Supra pun<- Itini A idem redis, in eadem direclio/iis liriea, simililer ponalur, lU in figura; minuentur {^) anguli lincarum CN, BN, al palet : tririabil igiliir potenlia a'quilibrii in A couslilula, ideoque pondus ex gravibus B el (", compositum, pro dii'ersa a terrœ cenlro dislanlia, erit eliam diversitm.

Primam parlem dilemmalis quominus fatcaris, impedil tua proposilio : (juippe, hoc dalo, corruerel. Falearis igitur ncccsseest, aul paient iam i/i A rariare pro diversilatc angub)rum, aul eamdem semper esse in omni an^ulorum acutorum posilioiie, sed lamen inœqualem polenliœ qua- delincl potenlias ad vectem perpendicularcs.

Utrum libcl coacesseris. manifestissimii demonstratione delegilur para- /ogis/niis. quem tu;r dcmttnslralioni irrcpsisse nec renias quam qaœnmiis palitiu- dissimidare, nec lu ipse poleris forlasse difjiteri.

11. In prima jigura (lig. .k)), quœ est quarta luœ proposilio/iis {- ), /lis verbis ila construis.

« Soit 1(! cciilrc de la Ijalaacc A etc. (^voir page 79, ligac 1 o à page <S(), ligne '1 ). . . . éijuililtrc avec la puissance K sur le bras A(]. » Hic rertilur cardo tuw demonstratioids.

El prim), si direns m omni angulorum aculorum /Kisilione eamdem

(') Ia' loxlo semble corrompu, iiiuis ne [icul êlre r6tai)li sûrement, la fiijure originale faisant délaut. Si la droite CU est Iracco au-dessus du point A (mpra), les angles C cl U augmentent (iiiii^cbunliir) au lieu de diminuer. Avec nu/ineiitur, il faudrait infro, cpii esl la leçon la plus probaljlo au lieu de supra, à moins que la figure ne fût retournée.

(2) Comparez en effet la. Ai'. '12, qui est la (pialriôme do la Lettre XIV.

l''i;nM.vT. ^ H. l3

sernper potenliam requiri ad œquUibrium, slalirn demonstraho mearn de vecte propositionem; falearis igitur necesse est, variare potenliam proiil

an guli variant.

Fig. 5o.

Uis posilis, esto, siplacet, in cxposila figura centrum tcrrœ^ inquod rectœ CE, BD dirigantur, et sint in punctis E ef D pondéra seii gravia in

proportione data, qiiod quidem liherum esse tua mnuit constructio.

Imo hue tantum ahs te tendilur ut, pcr potentias imaginarias ah omnibus omnino parlibus izixpot.Xki^tjiç moventes, inveniatur proportio ponderum in vecte quiescente : aliter quippe, quum hujusmodi poicnliœ nulhbi in rerum natura reperiantur, inutiles prorsus essent.

In punctis II et G construis potentias pondcribus E et D œqualcs, quœ ah nmnibus ipsarum partihus -ûapaXXYjXw; moveant. Potenliam deinde H polentiœ E œqualiter movere, concludis pcr primuni tuoruni axiomatum. quia nempc trahct H potentia per punctum C et rectam HC perpendicularem vecti; traliet etiam pondus E per eamdem rectam vecti pcrpendicularrm : quum igitur œquales potcntiœ per eamdem rectam et eumdem angulum moveant et circa eamdem a vectis cenlro distantiam, pondus K et

* imaginaria H potentia œqualiter trahunt.

Id, verisimile quum sit, veritatem intimam quœrentibus non potest non viderifalsissimum. Pondus in M sit sphœricum, verbi gratia; omnes omnino ipsius partes ad centrum N tendant per rectas in eodeni N ccntro concurrentes et veclem AC, si continuentur, ad angulos acutos sécantes : ergo potentia', abs C ulrimque œqualiter remotœ, intelligentur veclem ad angulos aculos suis motibus sécantes. Contra, quum partes omnes polentiœ H -apaXAïiXwç moveant, intelligentur polentiœ, ahs C ulrimque œqualiter remotœ, ad angulos rectos vectem suis motibus sécantes.

XVIll. - FEVIUEU lG3(i. 99

Quiun igilur partes omnes potentiœ H simid sumptœ œquenlur partibus omnibus polentiœ seii ponderis E sirnul sumptis {iota cnim potcntia \\ loti ponderi E œquatur), palet, exjam traditis, potentiariim H, E /« punctis H et E inœqualem esse motiim; quod igitur de potenlia H eoncludit demonst ratio, perperarn ad pondus K porrigtt.

12. S'il me rcstoit du temps ou du papier, j'ajoutcrois, suivant vodT ilt'sir, la démonstration des concs isopérimètres ('). (]e sera une autre lois, me réservant encore de vous écrire quelques chose de plus recherché sur les Méchaniques, à la charge que vous m'obligerez de croire que je n'aurois garde de m'opiniàtrer après une proposition, si je ne la croyois véritable, et que je la quitterai un moment après que de nouvelles raisons l'emporteront sur les miennes.

Je suis. etc.

(') r,nr Letlrcs XIV, 11 cl XV, 8.

xi\.

FERMAT A ROBHUVAL.

< FÉvnii-u 10:37 >

( f'a, p. iSi-iJi. )

MONSIF.UI! ,

i- Je (rotivc assez do loisir pour vous envoyer encore la conslruclion (lu lieu plan : Si a cjunlcumquc de. ('), que je liens une des plus belles propositions de la Géométrie, et je crois que vous serez de mou avis.

Sinl data quollihct paiicla, qidiujuc rcrbi qraUa, A, G, l'\ 11, li (tij<. > i )

Fis. ■')'• N

( iiam pro|W)sitio est generalis), quœrilur circultis ad cujus circuDifcrciiliani in quolibet piinclo iiijleclcndo rectas a datis piinciis. qiiadiala omnium sint œqualia spatio dato.

( ') T'o/r Tome I, p. 3;, la proposition V du Livre II des Lieux pUaii il'JpoUo/iiics. — C.p. Lettre XIII, 7. — La présente semble n'être qu'un frai,'mcnl d'une Lettre perdue.

XI\. - FKVIUEU 1637. 101

.Ilinganlur puncta qiucvis A cL K pcr rectam Af'^, in qiiani ali aliis [junotis datis cadant perpcndiculares GB, HD, FC. Omnium rcclaruin, punctis datis vcl occursu pcrpendicnlarium etpuncto A forminatarum, sumatur pars conditionaria, quintans, verhi gralia, in liac specic ; quintans ergo rcctarum AB, AC, AD, AE simul suniptarum csto AO, cl a piincto 0 exciletui" porpendicularis inlinita ON, a qua l'cst'cc^lui' 01 pars conditionaria (quintans nompe pro numéro punctorum datoruin ) perpendicularinin GB, FC, HD, cl intclligantur jungi rcctio Al, t;i. FI, 111, Kl. Ouadrata islarum quinquc crunt minora spalio dato : dcniantur igitur a spalio dato et supersit, vcrhi gratia, Z planum, cujns ([uiiitans (parsnempc conditionaria) sumalur clin quadratumM rcdigatui-. ('irculiis, ccntro I, intervallo M dcscripUis satisfacicl proposilo : hoc t^st, quodcumque punclum sumpseris in ipsius circumfcrentia, rcctarum a datis punctis ad illud punclum duclarum (jnadrala cruni aM[nalia spalio dalo.

Addcrcm domonstrationcm, scd longa sano esl, cl maliiu vcslruni amhorum sollicilare senium ad cam invcniendam.

2. Non soluni aulcm lias propositioncs, sed omncs omnino de loris p/a/iis absolvi, imo locos quaniplurimos adinveni, de quibus niliil scripscrat A|)ollonius, qui lamen sunt pnicherrimi, vcrbi gratia (') :

/Jalis Irihits jninrtis in rccla A, B, G (tig. J2), iiiveniiT circiili ci/ciim-

ferc/itiam, in qua siimcndo fjuodlibct punclitm. ut "S, quadrata A.\, NB supcrcnl qaadraUun NC spalio dalo.

(') Voir Tome I, p. Il, la seconde addition de Format à la proposition 1 du Livre 11 de» Lieux plans:.

lOi (EUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

Do lacis solidis et ad supcrficiem multa quoque jam sunt détecta.

(lasus loci plani superioris, non adilo, nam patobunt statini. — Si piincla data sinl lantwn tria et constituant triangulum, centruni circidi localis erit centruni gravitatis illius trianguli. et haec propositio singularis satis est mira.

3. Scd hic non moror. Propositioncm universalissimam ita consti- (iio et jam construxi (') :

Si a datis quotlibel punctis injlectantur rectœ, et exponantur omnium species in data proportione crescentes aut déficientes, erunt species ita aucicf aut deminutœ dato spatio œquales.

Kxemplum : Sint data tria puncta in superiori tigura A, B, C, et ([na-rendus circulus in cujus circumferentia sumendo quodiibet punctum. ut N, quadrati NA dimidium, vcrbi gratia, quadrati RN duplum et quadrati CN triplum simul juncta conficiunt spatium datum, et demonstratio ad quamlibet proportionem et quotlibet puncta porrigcnda.

Hanc propositioncm, pulcherrimam sanc, vidctur non vidisse Apollonius.

KOBERVAL A FERMAT.

SAMEDI h AVRIL 1637.

(fa, p. i52-:j3.)

MoNSiEun,

1. Quoique j'eusse reçu dès lundi dernier votre démonstration du lieu plan (-), néanmoins mes occupations, tant publiques que parti- Ci) Généralisation do la proposition V du Livre II dos Lieux plans. (-) J'nir Lettre XIX, 1. — Roberval, dans une Lettre perdue, avait demandé la démonstration de l'énoncé donné par Fermât.