ROBERVAL A FERMAT
SAMEDI h AOUT 164-0.
( /"rt, p. i65-i66.)
Monsieur,
1- Encore que depuis près de trois ans je n'aie eu llionneur d'avoir commerce avec vous, je n'ai pourtant pas été privé entièrement
(') Probablement dans la partie perdue de la Ixltre XXXIX -
■im ŒUVIIES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.
• lu plaisir qiio je rerois de vos spéculations mathématiques, car le Père .Mcrsenne m'a fait la faveur de me communiquer la plupart des lettres (|ii'il a reçues de vous depuis ce temps là, dans lesquelles j'ai reconnu nne augmentation continuelle et tri's sensible en la beauté et solidité de vos pensées, auxquelles il n'y a rien que d'admirable, soit sur le sujet de la Géométrie ou de l'Arithmétique.
2. Sur tout je suis ravi de votre invention de minimis et maximis e( du moyen (') par lequel vous l'appliquez à la recherche des touchantes des lignes courbes, et ne crois pas que jusques ici il se soit vu rien sur ce sujet qui ne cédât de beaucoup à ce que vous nous en avez donné. Car l'invention de M. Descartes, à laquelle j'assigne le premier lieu après la votre, n'en approche que de bien loin, parce que, quoi- <[u'elle puisse être rendue universelle, ce qu'il n'a pas fait et le pourra maintenant à l'imitation de votre dernière addition, toutefois elle est sans comparaison plus longue, plus embarrassée et plus difTicile.
3- Je vous dirai que j"ai d'autant plus admiré votre invention qu'à peine croyois-je que, pour trouver les touchantes des lignes courbes qui n'ont rapport qu'à d'autres courbes ou partie à des droites etpartie à des courbes, on pût s'en servir, ce que M. Descartes avoue de la sienne sur le sujet de la roule.lte et autres lignes pareilles, lesquelles pour cette considération il rejette de la Géométrie (-) : sans raison, puisqu'à l'imitation de votre dernière addition, sa méthode peut éîre ren<lue universelle comme la votre, mais avec une difficulté, laquelle bien souvent ne se pourroit presque surmonter par un esprit humain.
4. Cette opinion fut cause que, quand je vis que vous aviez trouvé les touchantes de la roulette (')etque vous assuriez avoir la règle universelle pour toutes les lignes courbes, je crus qu'elle ne pouvoit être autre que celle que j'avois inventée au temps même que j'inventai cette roulette, laquelle règle ou méthode je n'avois encore commu-
(') Voir le Traite Doctrinam taiigeniiuni. Tome 1, paires i58 à 1C17. ( -) Gcoméirie de Deseartcs, éd. lleniianii, l'aris, 1886, page iG. (3) roi> Lettre XXXIV, 2.
\L1. — 4 .\()LT IGVO. 201
iii(|ii('M' il pcrsoniu', iirélaiit coiilciitc d'en avoir (iéiiioiilrr Ic^; ('(h'Is ii .M. l'asfal (Ml la taiii^'ciitc do la '/uiidralricc qui se (rouvoit des plus dil'licilcs, V joii^'iianl la dt-iiioiistratioii géoiurtriqiio. comme a fait Arcliiiiii'dc en celle de la spirale, la([iieile jtar ma mélliode s'expédie en deux mois.
5. J'avois (ait la même chose en la cissnïdc et avois démonlré, de plus, (jue ces deux liiçues courbes sont infinies de leur nature et (uil des asymptotes parallèles entre elles ('), ee (|u'on m'a assuré avoir été déjà démontré par un auteur dont on ne m'a pu dire le nom.
6. J'ai aussi démonlré I(>s tangentes des lignes eourlies qui se décrivent avec un compas sur la superficie d'un cylindi'e, puis se réduisent en plan, et en général celles de toutes les courbes qui on( pu venir à ma connoissam^e; et cette métliode est lellement diU'érente de la voire (contre ma première opinion) qu'elles ne se ressemblent en l'icii ([n'en la conclusion.
7- Depuis, M. Mydorge faisant qu(dqiies difti('uUés sur la vôtre, je lui en donnai la solution, et en même temps je lui ouvris les principes de la mienne et lui en lis voir un essai en la cissoïde. Si je sais (|ne vous l'ayez agréable, je vous en écrirai. Klle n'est pas inventée avec ville si subtile et si profonde géométrie (jue la votre ou celle de M. Desearles et, parlant, (die pareil avec moins d'arlifice; en récompense, elle me semble plus simple, plus naturelle et plus courte, de sorte que, pour toutes les louchantes dont j'ai parlé, il ne m'a pas même été besoin de inetlre la main ;i la plume.
8. Depuis celte invention, je me suis appliqué aux lieux solides ad 1res cl (id (luatuor liiieas, lesquels j'ai enlièrement restitués, quoique, [tour n'y rien oublier, il ne faille guère moins de discours qu'aux six
{') Itolicrviil semble avoir ccinsidcio la cissoUle nummc coiii|irciuiiit la combe symé- Lri(]iie ([lie l'on oblienl en cliangcaiiL lo signe de c dans l'équalioii ^■^(a — .r) = («-H x)'. Il est probable que les aiicions cnlondaienl cgalcmcnL dans le môme sens leur définition de ceUe courbe, mais, pas plus ipie pour la (piadralricc. ils n'a\ aienl considéré les brandies en dehors du cercle .r--t- i - = «-.
Tkrsiat. — II. 26
•202 ŒUVUES 1)K FERMAT.— COH UESl'()M)AN(,i:.
Iircmicrs Kivros des Klémonts. C'osl do (nmi je vous oiilreliciidrai uik! auh'o l'ois, parco qu'il va quchjue clioso qui nie semble le lurrilcr.
9- iMisuile j'ai considéré la percussion, le mouvement e( les andcs cU'ets que cause quelque impression, soit violente ou naliirelle, en (|uoi je ne crois pas avoir ma! employé le temps, puisqu'on une malii're si épineuse, encore ai-je découvert quel(|ue chose de i^^rande utililé, ii ce (|iie je pense, et laqu(dle je pourrai peu(-é(re augnienler avec le (emps.
10. J'ouhliois pres(|ue à vous dire que les nombres, doiil vous ave/, déjà découvert des pro[)riétés admirables, contienruMit de i^'rands niys- ((■res; mais, pour les mieux découvrir, il l'audroit être plusieurs ensemble, d'accord et sans jalousie, et desqncds le génie iVil nalinvdlemenl porté ;i cette spéculation, ce qui est très dilTicile à rencontrei'. Si ce sujet vous plait, ou quel(|u'un de ceux dont j'ai parlé ci-dessus, je prendrai aussi plaisir à le considérer plus particulii'rement, espérant que vous me l'erez part de vos inventions, de quoi je vous sup|)lie en qualité de etc.
XMI.
FKR.MAT A ROBRRVAI..
< AOUT KVlO > ( ya, p. i()i-i(i '.) Mo.NSU 111,
1- Apri's vous avoir remercié de vos civilités (') et protesté que je serai ravi d'avoir des occasions à vous plaire, je vous supplierai de me faire part de votre invention sur le sujet des tangentes des lignes courbes et encore de vos spéculations méchaniques sur la percussion,
(') Ilc()Oiisc à lu Lcllre précédente, XLI.
XLIl. ~ AOUT IG'iO. 20:i
|Miis(|ii(' vdiis me faih's c'sjx'rcr la coiiimiuiiration de vos pensées cii (•(•Ile iiialii'i'o.
2. Après cela, je vous tlirai que iM. rrenicle m'a tloiiné depuis (|uel(jue temps l'envie de découvrir les mysti-res des nombres, en quoi il me semble qu'il est extrêmement versé. Je lui ai envoyé (') les belles propositions sur les [)rogressions géomélri(|ues (|ui commencent ii l'unité, les<[nelles j'ai non seulement trouvées, mais encore démontrées, bien (|ue la démonstration en soit assez cacliée, ce ([ue je vou> prie d'essayer, puis(|ue vous les avez vues.
3. Mais voici ce (|iie j"ai découvert (-') depuis sur le suji'l de la proposilidu 12 du cin(|uiéine Livre de Diopbante, en quoi j'ai suppléé ce (|ue I5acbet avoue n'avoir pas su, et rétabli en même temps la corruption du texte de Diopbante, ce qui seroit trop long à vous déduire. Il suffît «lueje vous tloune ma proposition etque je vous fasse plutôt souvenir (jue j'ai aulrelbis démontré (^) qn'///( nombre moindre de l'iinile (jit'un multiple du (jualermdrc n'est niquarré, ni composé de deux quarrès, ni en entiers ni en fractions. J'en demeurai pour lors là, bien (|u'il y ail beaucoup de nombres plus grands de l'unité (ju'un multiple du quaternaire, qui pourtant ne sont ni quarrés, ni composés de deux quarrés, comme 21, 33, y-, etc., ce qui a fait dire à Bacliet sur la division proposée de 21 en deux (|uarrés : (piod quidem impossibile est, ut reor, càm is ncque quadratus sit, neque suaptc naturel compositus ex duohus quadratis, où le mot de reor marque évidemment qu'il n'a point su la démonstration de cette impossibilité, laquelle j'ai eutiu trouvée cl comprise généralement dans la proposition suivante :
4. .SV un nombre donne est divisé par le plus grand quarrè qui le mesure, et que le quotient se trouve mesuré par un nombre premier moindre
( 1 ) / «(> I.cllrc .\L, 6.
(2) l'air Tome I, Ohsenfiliiiiif XXV et XXVI siir Dioiilianlc.
( •■) Celle proposition avait été, en môme temps que le second tliéoiénic énoncé Lettre XII, 3, envoyée par Mersennc à Descartes, le 'ii mars i638, comme démonlrcc par Fermât.
■n)\ ( j; i : \ Il K s I) !•: r k i« m a t. - (^ ( ) n u e s im ) n i) ,\ \ c !•..
(h' iu/iilc (]uun nuiltiple du (juaternairr, le nombre donné n'esl ni quanr. ni composé de deux quarrés, ni en entiers, m en fracUons.
Exemple : Soit (Ioiiik'! S/i. Le plus grand quarré qui le mesure est 4le quotient 2r, le(juel est mesuré par 3 ou bien par 7, moindres de l'unité qu'un multiple d(! !\. Je dis que iS'i n'est ni quarré, ni composé de deux quarrés, ni en entiers, ni en fractions.
Soit donné 77. Le plus grand quarré qui le mesure est l'unité; le (|Uotient77, qui est ici le même que le nombre donné, se trouve mesuré par II ou par 7, moindres de l'unilé (ju'iin multi[)le du (]uaternaire. .le dis que 77 n'est ni (|uarré, ni composé de deux quarrés, ni en entiers ni en ('raclions. Etc.
Je vous avoue francbement que je n'ai ri(>n trouvé en nombres (jui m'ait tant plu que la démonstration de cette proposition, et je serai bien aise que vous tassiez etlort de la trouver, quand ce ne seroit que ])Our apprendre si j'(>s(ime plus mon invention qu'idie ne vaut.
5. J'ai démontré ensuite celte proposition, qui sert à l'invention des nombres premiers :
Si un nombre est composé de deux quarrés premiers entre eux, je dis (pi il ne peut être divisé par aucun nombre premier moindre de l'unité <pi un multiple du quaternaire.
('omme, par exemple, ajoiilez l'unité, si vous voidez, à un ((uarré pair, soil le quarré 10 oon oooooo, le({U(d avec 1 fait roooo 000 001 . Je dis que looodoooooi ne peut être divisé |)ar aucun nombre premier moindre de l'unilé ((u'un multi|)le de '\, et ainsi, lorsque vous voudrez éprouvei' s'il est nombre premier, il ne faudra point le diviser ni par '5, ni |»ai' 7, ni par i i, et*;.
6. Si ne faul-il ])as oublier tout à l'ail la (iéouiéli'ie. Voici ce (|n'on m'a proposé et (jiie j'ai trouvé tout aussitôt :
Pcr dalum extra vel intra parabolen punctum, rectum ducere qme (d)scindat segmentum a parabole œquale dalo spatio. Et, si punctum sil
\LI1I. — AOl T 1C40. -iO.l
Hilnt paraholen, dclcriniiiarc nununu'ii (jitod a paniholc pcr dirhim piincliini (ihscindi possil spaliiiin.
Si vous lie rciicDiilri'/ pas d'aljord la (■«iislriictioii, je vous IVrai ]iai-| (le la iiiicnnc.
J'aKciids (11- vos iioiivcllos (■[ suis clc.
rKH.MAT A FHKNICLEC).
< AOUT? Kj'iO >
1. Soit par ox('ni|il(' la prorriM'ssiou tioiililc depuis le Miiairc avcr ses exposants au-dessus :
1 2 n V .i 6 T 8 '-1 P* H li H IV !'■ I '■
■>. \ 8 iG ?-i'>. 6'| n8 2.")0 .")i2 \oi!\ v>'\^ 'i'i')'> Si<)>. HiJS'i .î-ijfiS (i.V).îi)
Je dis ([ue, si vous aui^mioutez les noiiihres de la |)roiri'essiou de l'unité, et (|ue vous i'assie/ >, ^ (). i j, etc.. tous les dits nombres progressifs ainsi augmentés, qui se trouveront avoir pour exposants des nombres (jiii ne sont pas de la tlile progression double, seront nondu'es eomoosés.
(le
2. lîien qu'on puissi' faire une analomie partimlière (]ui e>l lro| longue il déerire, il sulTit de vous l'aire ei)tn[)rendre, dans l'exeni qui suit, la proposition ([ne j'y ai faite :
Soit le iiom!)re progressif augmenté de l'unité Hi;)). diiqiii'l l'exposant est I '5 nombre premier. Je dis (jin', si vous divise/. Sii)) par !, le
(') Ki'iij^m.'nl |iiil)lic |)iu-.\l. Cil. \hn\f\ (licclicrilicn vif., p. ii)«-iç)J ) d'<ipi\"S li" liroiiillon d'Arboi^isl. 11 poilo siii' la copio un ncl le litre : Sur les nombres proiiicrs dt- l'rriniil à Frcniclc, cl la iiR'iiliou : D'uprcs In copie de Mcrsciiiic.
iOb (KUVIiES DK FKKMAT. - CO HUESl'ONDANCE.
(|iiu(ienl ne pourra ('Irc divisé que par un nombre (|ui surpasse de l'uuilé ou le double de l'i exposant susdit, ou uu uuilliplo dudit double de I i, etc., à l'iutiui.
Que si l'exposant est un nombre composé, qui pourtant ne soit pas un de ceux de la progression double, je puis trouver tous les diviseurs fort aisément.
3. Mais voici ce que j'admire le plus : c'est que je suis (juasi pi'rsnadé (') que tous les nombres progressifs augmentés de l'unité, desquels les exposants sont des nomltres de la progression double, sont nombres premiers, comme
et le suivant de 20 lettres
' *^ '1 V'> 7 '1 '1 073 709 .").") I G 1 7 ; cil'.
Je n'en ai pas la déuH)nstralion exacte, mais j'ai ex<-lu si grande quantité de diviseurs par démonstrations inl'aillibles, et j'ai de si grandes lumières, qui établissent ma pensée, (|ue j'aurois peine ii me dédire.
