XLIV. - 18 OCTOIJUK IGiO. -mi

la dcrni(''re de vos leltros en date du 21 septembre ('). Je tacherai diréparer par celle-ci la longueur de l'altcntc et commencerai par la liberté que je prends de vous dire que je n'ai point vu encore aucune proposition de votre part que je n'eusse plus tôt trouvée et considérée; et afin de vous rendre vous-même juge de cette vérité, et vous ôter en même temps le scrupule que vous pourriez avoir, que je n'en use comme quelqu'un de ceux du lieu oii vous êtes, qui s'atlrihuc impunément les inventions d'autrui, apri's qu'elles lui ont été communiquées, je commencerai par la proposition ('-) de la ditTérencc de deux quarrés, que vous trouverez dans Hachet sur le Diopliante, an commentaire de la proposition 11 du deuxii'me Livre, en même façon que vous me l'avez envoyée, vous avouant pourtant que l'application, que j'estime beaucoup, est toute vôtre et que je l'ai apprise de vous.

2. Pour le sujet des progressions, je vous avois envoyé par avance ( ' ) les propositions qui servent ii déterminer les parties des puissances — 1 , et, par ma seconde Lettre ('), je vous avois fait comprendre que j'avois considéré toutes les propositions qui servent aux puissances -f- 1, de (juoi je m'étois contenté de vous donner deux exemples, dont l'un étoil démontré par moi et par conséquent connu nécessairement, et l'autre ne m'étoit point entièrement connu par raison démonstrative, bien que je vous assurasse que je n'en doutais pas.

Or, pour venir ii la connoissancc de ce dernier, quoiqu'imparfaite encore et non achevée, je ne le pouvois sans avoir plus tôt examiné et prouvé par démonstrations toutes leurs propositions contenues en votre dernière, ce que vous n'aurez nulle peine de croire, puisque le seul exemple que je vous envoyai le marquoit assez, auquel j'ajoutois (ju'en toutes progressions on pouvoit déterminer les diviseurs communs et généraux avec pareille aisance.

Mais je vous avoue tout net (car par avance je vous avertis que,

(') Lcltrc perdue.

(-) Construction de deux carrés entiers ayant une difîérence donnée.

(3) Foir Lettre XL, 6.

('') Lettre XLIIL

208 (KUVHi:S \)\: FKUMAT. — COIîHIlSIMJNDANCI-:.

coiiiinc je ne suis pas capahlc tic m'allrihiior plus (|U('jc' no sais, je (lis avec lurme IVancliisr ce <|U(' jo ne sais pas) que je n'ai pu encore (léiuoiilrer l'exclusion de tous diviseurs en celte belle proposition (|ne je vous avois envoyée et que vous m'avez coiitirniée, touchant les nombres 3, j, 17, 2")-, (IjVJy, etc. (>ar, bieu (|ne je réduise l'exclusion à la plupart des nomjjres et (|ue j'aie même des l'aisons probables pour le reste, je n'ai pu encore démontrer nécessairement la vérité de iM'ttc [)ropositiou , de laquelle ponrtant je ne doute non |)lus à cette lieiire ([ih' je faisois anparavant. Si vous en avez la ])reuve assurée, vous m'obliif(M'ez de me la communiqiUM'; car, après cela, lien ne m'arrêtera eu ces matii'res.

3. Reste il vous parler de la pro|)osili(ni t'oudann'utale des parties aliquotes, laquelle m'étoil t(dlemenl conuue (jue je vous l'avois euvoyée par la |)remière letti'e (jne je vous écrivis ('), laquelle on m'a dit depuis s'être égarée. Pourtant, si le Pi're Mersenne veut prendre le soin de la l'aire (du-rclier dans le bureau de la poste, elle se trouvera dans un paquet que j'adressois à .'\i. ... (-' ).

Outre que cette pro|)osition est si naturelle, qu'il est impossible de déterminer et de trouver la moindre chose sur ce sujet, qu'elle ne se préseute d'abord; de sorte (juayant depuis fort longtemps trouvé et envoyé les propositions des deux nombres i~ '2()(J et 18 '(iGet autres pareilles ('), il falloitijar nécessité que j'eusse passé par la ilile proposition.

Pour votre application, il me semble qu'elle n'ote j)as la longueur (jiieje trouvois en cette sorte de ({uestious, qui est la seule dilliculté (juc j'y ai toujours rccounue; sinon que je ne l'aie pas bien comprise, de quoi je vous prie m'avertir et me rendre certain.

4. 11 me semble après cela ([u'il m'importe de vous dire le fonde-

( ') LeUrc perdue, iiui doil avoir été éeiile eiilre les LeUres XL el XIJll.

I '^) Cai'cavi?

(3) f'oir l'iccc IVa-