XLIV. - 18 OCïOnUE IC'.O

mont sur lo(jucl j';i|tpiiic los ilémoiisiradoiis de tntil rc (lui coiiccriic les progressions gôomôlriqucs, qui est loi :

Tout nomhrc premier (') nipsiire inraillii»loinent une des puissances — I de (juelque progression (jue ce soit, et l'exposant de la dite puissance est sous-mniliple du nombre premier donné — i; (>(. après qu'on a trouvé la première puissance qui satisfait ii la (|uestion, toutes celles dont les exposants sont multiples de l'exposant de la première satisfont tout de même à la question.

Exemple : soit la progression donnée

3 (j ■}.- 8i a/jo ^iij clc.

avec SCS exposants en dessus.

Prenez, par exemple, le nombre premier i3. Il mesure la troisième puissance — i, de hufuelle 3, exposant, est sous-multiple de 12, qui est moindre de l'unité que le nombre i3, et parce (|ue l'exposanl di^ 7'2C), qui est (>, est multiple du premier exposant, qui est 3, il s'ensuit que i3 mesure aussi la dite puissance 729 — i.

Et cette proposition est généralement vraie en toutes progressions e-t en tous nombres premiers; de quoi je vous envoierois la démonstration, si je n'appréhcndois d'être trop long.

5. Mais il n'est pas vrai que tout nombre premier mesure une puissance -f- I en toute sorte de progressions : car, si la j)remière puissance — I, (jni est mesurée par le dit nombre premier, a j)our exposant un nombre impair, en C(^ cas il n'y a aucune puissance -1- i dans toute la progression qui soit mesurée par le dit nombre [iremier.

Exemple : parce ([n'en la progression double, 2'] mesure la puissance — I (|iii a pour exposant 11. le dit nombre 23 ne mesurera aucune puissance -1- 1 de la dite progression ii l'intini.

Que si la prcmii're puissance — 1 qui est mesurée par le nonibi'c

( ') C'est de cet énoncé qu'a été lircc hi proposilioii connue sous le nom ilc Tlicorciiiit (If h'cnnal, ii savoir que si p est premier cl ne diviso [las i?, il divise «''-' — i.

Feiimat. — n. -^7

premier donné :i ponr exposant nn noinl)i'c pair, en ce cas la puissance + 1 qni a pour exposant la moitié tludit premier exposant sera mesurée par le noml)re ])remier donné.

6. Toute la diCticulté consiste à trouver les nombres ])remiers qui ne mesurent aucune puissance + i en une progression donnée : car cela sert, par exemple, à trouver quels des nombres premiers mesurent les radicaux des nombres parfaits et à mille autres clioses, comme, par exemple, d'oii vient que la '^7^ puissance — i en la progression double est mesurée par 22!). En un mol. il faut déterminei' ([uels nombres premiers sont ceux qui mesurent leur premii're puissance — i en telle sorte que l'exposant de la dite puissance soit nn nombre impair, ce «|ue j'estime fort malaisé, en attendant un plus grand éclaircisscmenl de votre part et qu'il vous plaise d'étendre cet endroit de votre lettre, où vous dites qu'apri-s avoir trouvé que le diviseur doit être multiple + I de l'exposant, il y a aussi des règles pour trouver le quantii-me des dits multiples + i de l'exposant doit être le diviseur.

7. Voici une mienne proposition ((juc ])eut-ètre vous aurez aussi trouvée) que j'estime beaucoup, bien (ju'elle ne découvre pas tout r.v que je cberclic, que sans doute j'acbèverai d'apprendre de vous :

En la progression double, si d'un nombre (juarré, généralement parlant, vous ôlez 2 ou 8 ou 32 etc., les nombres premiers moindres de l'unité (|u'un multiple du quaternaire, qui mesureront le reste, feront l'efTet re([uis.

Comme de 2j, qui est un quarré, ôtez 2; le reste 2'> mesurera la 1 1" puissance — i.

Otez 2 de /jt), le reste 47 mesurera la l'i" puissance — i.

Olez 2 de 220, le reste 223 mesurera la 3^' puissance — 1 ; etc.

En la progression triple, si d'un nombre quarré itl supra vous ùtez 3 ou 27 ou 2'(3 etc., les nombres premiers moindres de l'unité qu'un multiple du quaternaire, qui mesureront le reste, feront reiïet requis. (]omme :

Otez 3 de ij, le reste 22 est divisé par 11, qui est premier et

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iiioiiidrc (le l'unih'' furuii mtilliplc du (jualiM'iiairc; aussi it mesure la ./ puissauco — i.

Ole/. 3 (le i2i; lo resie ii8 est mesuré par ji) mouulre de l'uiiilé (ju'dii multiple du quateruaire; aussi .">() mesure la 2(f puissauco — i.

l'ji la |»rogressi()u (juadruplc, il faut olcr 4 ou G'i ou lo-^'i, ele. ;i l'iuliiii eu toutes progressious, eu procédant de même façon.