II. — MAI IC3C

Haec autem propositio probatu est facillima, vcstigiis Archimcdis (') insistendo, et, si ncgelur, stalim domonsirahilur.

2. Hoc supposito, propositionem sanc mirabilem indc dcduciimis : Ponalur grave in punclo N (tig. 2) intcr puncta A et B, el fiai iil AB ad BN, ita pondus N ad polentiam K : Aio pondus N, junclo axe AN, a potcntia R i/i punclo A coilocala dcti-

Fig 2.

r?e/j e/, si minimum augeatur polentia R, sursum lulli, idcoque quù propius pondus accedit ad ccntruni Terra', minorem polentiam ad tollendum illud requin.

Hœc est, ni fallor, propositio quam Beaugrandus (^) in sua Geosta- (ica demonstrât; nos eam hac ratione, quae sequitur, demonstramiis.

dans une Icllrc perdue, où il le priait sans doute de la communiquer à Mersenno. Fermai l'avait composée avant d'avoir pris connaissance de la Gcostatique de Beaugrand, par conséquent avant la lettre suivante, du 3 juin i636 (voir ci-après III, 5).

Mersenno en a inséré dans son Harmonie universelle une traduction assez fidèle, que nous reproduisons ci-après (lU)- Elle permet de constater une confusion dans les T'orw, où les trois premiers articles sont rattachés à la pièce V ci-après, et où le titre du morceau est inséré après l'énoncé même de la proposition, c'est-à-dire avant l'article 3 : Siippositi.i et coiiccssis etc.

(') Si l'on compare la marche que suit Archimède (De plnnonim (rqailibriis, I) pour démontrer le principe d'équilibre de la balance, on reconnaît que Fermai admet eu fait comme postulats :

1° Que la direction de la gravité passe constamment par un point déterminé hors du corps pesant, à savoir par le centre de la Terre;

v." Que le point d'application de la gravité (au moins pour un corps sphcrique homogène) est un point déterminé de la figure du corps pesant;

3° Que l'effel statique de la gravité, pour un corps déterminé, dépend uniquement de la distance de son centre de gravite au centre de la Terre.

Fermât ne suppose pas d'ailleurs que la gravité s'exerce eu dehors de la sphère terrestre; dans ces limites, ses postulats concordent avec l'hypothèse ncvvtonienne, si l'on considère la gravité comme la résultante de l'attraction d'une sphère composée de couches concentriques et homogènes sur un point matériel situé à son intérieur.

(») Voir la Lettre I, 7. La Gcostatique de Beaugrand a pour objet de démontrer que la gravité (supposée seulement à l'intérieur de la sphère terrestre) varie, pour un mémo

3. Suppositis et concessis quihus iii demoiislralionc uliniur, ex praeccdontc propositionc et ex communibus notionibus desuinptis, sit centrum Terra3 C {fig. 3), semidiameter CiV in qua sumatur punctum

Fi-. 3.

|{. In pnncfo autoni B sit quodvis grave appensum; fiât autem

ul rccla CA ad reclam CR, ita pondus in R appensum ad polonliain aliquain, ul R.

Aio grave B a potenlia R in pnncio Asiistineri et, si angealnr (|uantumlibet potenlia R, pondns lî ab liujusmodi aueta potenlia in pnneto A collocala snrsum movcri.

Producatur enim AC in D, et sit (]D «qualis CB, et in D eollocetur pondns ponderi B jequale. Corporis igitnr e\ dnobus gravibus B et D «•onipositi centrum gravilatis est (1, ideoqiie, si a puncto A anferafnr

corps, |)roportionnellemciU à la distance de son centre de gravité au centre de la Terre. (Vcst donc, en fait, la môme thèse que celle do Fermât, quoi(pie ce dernier établisse une distinction assez subtile {voir ci-aprcs Lettre IV, 1). Mais la démonstration de lieaui;ranil est absolument manquce comme fond et comme forme, et elle donnera lieu, dans la corrcsponilancc entre Mersenne et Descartes, à de fréquentes railleries de ce dernier contre le gct>stntlcicn.

(lettc démonstration revient en fait à admettre que, si un corps pesant est suspendu par un fd sans gravite à l'extrémité d'un levier parallèle à l'horizon et maintenu d'ailleurs en équilibre, cet équilibre ne sera jamais détruit, quand même on allongerait, autant ([ue l'on \oudra, le fil de suspension supposé dirigé vers le centre de la Terre.

L'erreur d'une pareille thèse est aisée à reconnaître; mais il convient d'observer ([u'à la date où nous sommes, les principes do la Staticpic no sont nullement établis; on est môme à peine d'accord sur les conditions d'étpiilibre du levier actionné |iar des forces parallèles, car la question qin s'agite est précisément do savoir si les postulats d'origine expérimentale sur lesquels repose la théorie d'Archimède sont vrais en prenant les forces do gravité concourantes, ainsi qu'elles le sont en réalité, ou en les supposant parallèles, avec le géomètre do Syracuse. Beaugrand admet la première alternative jus(]ue dans ses conséquences évidemment erronées; Fermât suit la même voie, mais avec une pruticnce très caractéristique. Kobcrval défendra l'hypothèse d'Archimède (ci-aprèx Lettres VIU, XIV) ; mais Galilée et Caslelli, quoique déjà en possession, comme Uoberval, du principe do l'équilibre du levier actionne par des forces concourantes, n'en ont pas moins pris en sérieuse considération les conclusions de Beaugrand et les propositions de Fermât {vnii- ciaprès, Pièce V, note G).

n. - M AI 1G3G. !)

|K)l('nlia H, qiuiiii iccla \l\ iiiliil |)(>ii(l(M-('t, cninl ixmdcia 15 cl I) in a'(|iiilil)rio o( inaiichuiil.

Si aulciii iii A collocoliir pondus dcorsum Icndcns, ]M)l(>nlia' W sursmii movcnti ,TqiiaI(', idem es! ac si a punc(o A dcmaliir potcnlia II; iiaiM, (inanliini pntcnlia lollil, lanluindc-m pondus dcpriniil. Cnlloccinii;,'iliir liiijusmodi pondus in A : corpus ii^ilur coniposiluni ex |)(»lcn(ia H collorata in A cl sursuni Muivcnlc, ex poiulcre A deorsuni Irndcnic et ex gravions ]{ o( I), nil in lequilibrio aul, si niavis, non inovcl)ilnr.

Ouuni au(em gravo I) si( a-fjualo gravi 15, o( ivcla C.D rocla^ CM, cril

Ml AC ail CI), iia AC yil Ci!,

iil poiulds 1! ad polfiiliain I! jii A colloialani, lia pondus I) ad pondus in A deorsuni Icndcns.

(|(iiiil ipsi |{ polcnlia" a'cjualc jiosuinius. ICsl aulcui, ex liypollicsi,

m roda AC ad CI5, ila pondns I! ad pnicnliam lî in \ ((dliicalani :

oril igilur

ut AC ad C!), ila pondns I) ad pondn^ in A dcni-sinu Icndcns.

Ouuni ii;ilur dislaulnc pondcribiis siul rcciprocc propo^li()llalc^, pondus iu A dcorsuui Icndcns |»oudcri D anfuipondoraliil ; si vcro al) aM|uip()iulcranlilius a'i|uipon(|iTaiilia aufcranliii', rciiqua a'(|uip(tn(lcraliunl : crgo, si ali a'ijuilihiin ex polcnlia II iu A collocala cl siir>uni luovcnlc, ex poudcrc in A dcoisuni liMidcnlc cl poiulcrihus I? cl I) ((uuposilo, aufcralur a'(fuililiriuin ex pnndcrihus A cl I) coniposiluni. rcli- (]iia aM|iiip(iii(lcraliuiil au! poliiis iinii inovciuinlur.

Auicraiilur igiliir [loiidus A cl pondus I); rcinaïudiil polcnlia W. in A collocala, cl pondus I?, ([iiod proiiulc polcnlia H dclincliil. idco([iic. si ruiniuià augcalur vi. siirsiiiu hdlil. Oiiod oral dciuoiislraiidiiin.

l'inMAi. — II.

10 (KUVUKS 1)1-: FEUMAT. - COllHESPONDAiNCi:.

IIa.

MiaiSliNNli, Sciimde PiirlU: de riliii-iiioiiic' lliiU'crsclIc (iCi'ij), \\\\t\ Vlll : De l'iUililc ilo ril.ii'moaic, (iro|). wiii, |):igos (li cX siiiv. ( ' ).

. . . Oi', |)iiis(|iie Monsieur Fcrriinl, Conseiller au l*arleuient de Tliohjse el liès-excclleul (iéoniètre, m'a donué le raisoiineuicut qu'il a l'ail sur les dilTércuiles pesaiileurs des poids, suivant (|u'ils approclnMil davantage du cenlre.... Je veux l'aire |)arl au pnhlie de ses pensées sur ee siijel.

Soil donc le cenlre de la T(Mrc dans la lii,'rie droile VC (//.;'■. i), an poini 15;

Fi;;. ..

le deuii-diauièlre |{\; el !?(", soil une poi'liou île l'antre denii-ilianiélre. Ht <|ue le poids allaclié au point (] soil an |)oids attaché au point A comuie AI5 à lî(] : je dis (|ne les poids A, (] seront eu éi|nilil)re. Ceci étant posé, il eu ih'Mlnil la conclusion précédente, à savoir (|ne la pesanteiu- d'un eoi'ps est

d'anlaiit moindre c|n'il s'approche davantage du centre de la 'l'ei-re le

mets ici le raisonuemenl entier de Monsieur Fermai.

Soil donc mis U^ poids entre A el I! an poiiil N (//,:,■. a); el connue A<lî>

jrx-

esl à l$N, ainsi soil le poids iN à la puissaïuc II : je dis ipu- le poids \, i(jiirl à A |)ar la li:;ne NA (-), esl délenu par la puissance U mise au point A, el (pie si l'on anp;meule laiil soil peu la puissance lî, elle l'euléveia; par conséquent, il l'anl luie puissance d'aïUaid moindre pour l'enlever, (]u'il approclic davantage du centre ilc la Terre.

Ce (|u'il démonlre eu celle façon : Oue C (/'o'- >) soil le cenlre de la 'l'ei re,

le demi-diamélre (".A, au(|nel soil pris le puinl 1!, dans leipud le poiils attaché soil à la [uiissance \\ comme AC à CH : je dis (pie le poids H esl soiilonii |)ai"

I ' ) l'oir la note ■?, de la |)a.£;(3 (i, .soeoiid aliiicu. I - ) joiiU à I5A pur lu ligue HA Alcrscnnc.

m. - n JUIN i(;3G. ii

I;i (uiissance II mise en \, laqticllo l'iMilèvera, ytonv peu (|ii'oii l'aiiiimcntc. C.nr soil |irol()iip:L> AC jus(|tics à I), cl que CD soil égal à (",15, t-i (|iie l'on iiielir un |iipi(ls en I> égal an poids H, C sera le centre de pesanteur du corps composé des deux poids H et 1); c'est ponr(pioi, si du point A l'on ôlc la puissance r>, les poids n cl I) demeureront en écpiilibrc, puisfpie la ligne liA ne l)ésc point. Kl si l'on niei le poids en A (pii tende en lias, égal à la jiuissance 11 rpii lend en liant, l'on l'ail la même cliose que si du point A l'on ôloil la puissance li, puisque le ]K)i(ls abaisse anlanl comme la puissance» enlève.

Oue ce [loids soit donc mis en .\ ; donc le corps composé de la puissanre li posée eu A et tendant en haut, du poids .\ tendant en has, cl des poids I! ei I), demeni'era en é(piilil)re. Or puisijue le poids J) est égal au poiils lî, ci que la ligne (;i) est égale à la ligue CH, AC est à CM comme A(^ à (M) ; et comme le poids lî est à la puissance H mise en A, ainsi le poids I) au poids mis en .\ i|ui lend en has (lequel ou suppose égal à la puissance U). Or, connue A(] esl à (;i$, ainsi le poids 15 à la puissance l\ posée en A; donc, comme AT, ;i ('.[), ainsi le poids 1) an poids mis en A. El par conséquent le [loids mis eu A sera eu équililire avec le ])oids 1), puisque les distances sont en proporti<ni récipro(|ue des poids. Mais si l'on ôle des poids qui sont é(iuilil)r(!s, d'aulres poids (pii sont aussi en équilibre, ceux (|ni resteront demeureront aussi en l'quililjre; donc si, de l'éfpiilihre l'ait de la puissance U mise imi A cl lendani en liaul, du poiils mis eu A tendant en bas, et des poids 15 et I), l'on ôle l'équilibie lait des poids ,\ et I), les [)oidsf|ui resteront demeurcroni en écpiilibre.

Soient ilonc ùlés les poids A et 1), la puissance II mise en A el le poids {*> demeureront en équilibre, el parlant, pour peu que l'on augmente la puissance II, elle enlèvera le poids il : ce qu'il falloil démontrer.

II)

FERMAT A MKRSENNI-:.

MVHDI 3 JL'IN l636.

( f'tt, p. I Jl-129.)

.Mon Hi;vKr.i.M> PÈiii:,

1- .ï'ai reçu voire lellrc avec salist'actioii , piiisqu'cllo conticnl des reinarqucs el des cKfiéricnccs 1res singulières : j'en ferai l'esliiiie (|iie je dois et de (ou( ce ([iii me viendra de voire pari.

12 «KUVUES l)K lEIlMAT. - COUHESPONDANCE.

2. ,li' ii'iii |)oiiil vil lie livre de iiiiisi(nic plus nouveau de vous (|ue celui ([ue vous appelé/ Qiics/io/ts /lanno/iif/iies, (|ue j'ai, relié avec uu aulre recueil <le (Jacslio/is et les Merh'i/iif/iics de (jalila'i ( ').

3. Si la déiuousIralioM de la [iroposilion de l'iiéliee (-) n'éloil pas de graud discours el d(; grande rcclierclie, je vous l'euvoierois préseu-

( I ) Il a paru, en i()3.i, dons. Voliiincs difrérents do Questions du P. Mersonnc, Ions deux |)clit in-oelavo.

Lo premier — A Paris, riiez laques Villery, rue Clopin à l'Escu de France, et au coin de la rut"- Daupliine aux trois Perruques, M.DC.XXXUIl. Avec Privilcf^c du lioj. — Sans nom d'auteur (le privilèt;e, du t4 août 1(129, est délivré au U. P. M. R. M. ; l'aclievo (l'imprimer est du i'' dccoiribre 1033) — contient (Bibl. Nal. Imprimés V .>.iii, Inventaire V i9'>.9-l/5) : 4 A

<i) Questions inouyes, ou Récréation des scavans. Qui contiennent beaucoup de choses concernantes la Tlicorie (Tliéoloi;ic"?), la Philosophie, et les Mathématiques (180 pages);

/^) Questions harmoniques. Dans lesquelles so:it contenues plusieurs choses remarquables pour la Physique, pour la Morale, et pour les autres Sciences (276 pages).

Le second — A Paris, chez Henry Guenon, rue Sainct lacques, prés les lacohins, à l'image Sainct Bernard M. DC.X XXIV. Avec Privilège et Approbation. — (Privilège d'aoiit i(>34, épitres dédicaloires signées do Mersonnc) — renferme (Bibl. Nat. Imprimés V ■'.(>7'5, Inventaire V 251Î0/1/2) :

(■) Les Questions Thcologiqucs, Physiques, Morales et Mathématiques. Où chacun trouvera du contentement ou de l'exercice, Composées par L. P. M. (ajo pages);

d) Les Mcchaniques de Galilée Malhomaticion et Ingénieur du Duc de Florence, Avec Plusieurs Additions rares et nouvelles, utiles aux Architectes, Ingénieurs, Fonteniers, Philosophes et Artisans. Traduites do l'Italien par L. P. M. M. (&8 pages);

e) Les Préludes de l'Harmonie Universelle, ou Questions Curieuses, Utiles aux Prédicateurs, aux Théologiens, aux Astrologues, aux Médecins et aux Philosophes. Composées par L. P. M. M. {i->.t\ pages).

C'est évidemment ce second volume que possède Fermai et c'est le dernier recueil ic) ipi'il désigne improprement sous le titro de Questions harmoniques.

(2) Foir Lettre I, 9. — L'envoi promis ici par Fermât ne se retrouve pas dans ses Lettres à Mersenne, mais il fut fait avant le 4 novembre iG3() {voir Lettre XV, 6), et d'autre part, en rapprochant les extraits ci-après IIU et Illu des CEuvre» do Mersenne. on reconnaît aisément que ce dernier nous a conservé, dans le second de ces extraits, une partie du travail de Format, sulTisanle |ioiir que l'on puisse en apprécier toute l'importance. On peut constater également que l'hélice dont parle Fermât dans ses Lettres I, 9. et III, 3 n'est autre que celle qu'il désigne sous lo nom û' hélix Galilci (et non Jlaliani, fausse leçon de Bossut) dans la Solution du problème proposé par Etienne Pascal (Tome I . pages 73-74), pièce dont la date semble devoir être assignée en janvier ou février 1(137. (lelte .tpirale de Galilée, nom probablement donné par Mersenne, peut être définie la courbe décrite, relativement à la Terre supposée animée du mouvement de rotation diurne, par un point matériel pesant tombant librement suivant la loi do Galilée. Le problème de cette trajectoire préoccupait particulièrement le savant Minime et, dès sa première lettre à Fermât, il avait dû lui demander ses lumières sur cette question. — Il ne parait pas douteux ijuc l'écrit perdu ait été rédigé en latin.