L. - (i SEPTKMnni': ici

l/liypotiMiuso (lo (oui triangle primilif sera le côté du movcii qiiarrr; la (lid'érciu'c dos deux côtés du triangle sera le moindre (•ôfé, et leur somme sera le plus grand.

Exemple : Que le triangle soit u8, 4 n -J>^- Le moyen côté sera l'iivpofénusc, 53; la dilTérence de 28 à 4,'), qui est 17, sera le moindre, et leur somme, 73, sera le plus grand. On aura donc 17, 53, 73 pour les racines des quarrés clierchés.

Va si l'on prend tous les triangles, commençant par le premier: i, 'l, "), on aura fous les dits quarrés.

4. Apri's cette règle générale, j'en ai considéré deux parliciilii-res. dont l'une est celle que vous proposez en l'écrit particulier, savoir que, 1(! moindre des trois quarrés demeurant toujours le même, on ait les deux autres en une infinité de façons, et ii laquelle vous croyez que je n'ai pas pris garde, quoiqu'il y ait déjii longtemps que je l'ai trouvée, lorsque je travaillois aux triangles rectangles :

Car tout nombre et chacun d'iceux est la diiïérence des deux moindres côtés d'une infinité de triangles;

Et tout nombre premier, dilTérentde l'unité d'un multiple de 8, ou composé desdils nombres premiers seulement, est la diirércnce des moindres côtés d'une infinité de triangles rectangles primitifs.

l'^l, y ayant des voies certaines pour trouver tous les triangles qui ont une même dilTérence on leurs moindres côtés, on aura aisément tous les quarrés susdits.

Sur quoi il faut remarquer que, si le nombre proposé, qui doit être la racine du moindre quarré des trois et qui doit être la dillerencc des deux petits côtés du triangle, n'est divisible que par un seul nombre premier diiïérent de i d'un octonaire, comme sont 7, 49. 343; 17, 289, etc., le nombre sera la difierence des petits côtés de deux triangles qu'on peut nommer surprimài/s, pourcc qu'ils sont primitifs des primitifs, car d'iceux dépend l'infinité des autres triangles, et ces deux triangles sont toujours les moindres dont l'un commence par un pair et l'autre par un impair, et d'iceux se forme l'infinité des autres.

Voici la manière dont je me sers : si je veux, par exemple, avoir Ions les triangles (jui ont 7 de différence entre leurs moindres côtés, je cherche les deux premiers triangles qui ont cette différence, et trouve "), 12, i3 et 8, i j, 17. ,1e prends les racines des quarrés de chaque triangle, savoir 3, 2 et 4. i. ot mets chaque couple en tête d'une colonne. J'ai donc pour le premier : 3, 2. Pour avoir le triangle suivant, je prends la plus grande racine du premier pour la moindre du second, savoir 3, et pour la plus grande je prends le double de la plus grande du premier, plus la moindre. Ainsi j'aurai 8, qui est double de 3, -1- 2. Ce 8 sera la moindre racine du troisième triangle, et la plus grande du dit troisième sera 19, qui est double de 8, -i-3. On fera la même chose à l'autre couple 4. '. «"t on poursuivra aussi loin (|u'on voudra.

Is.

Ayant donc tous les triangles qui ont 7 pour différence de leurs moindres côtés, il sera facile, par ce qui a été dit ci-devant, de trouver tous les quarrés arithmétiquement proportionaux, dont le moindre est 49-

Si le susdit moindre quarré étoit divisible par deux nombres premiers de même nature que les susdits, il y auroit quatre souches dont tous les triangles dépendroient.

S'il étoit divisible par trois nombres premiers, il y en auroit huit, qui ne dépendroient point l'un de l'autre.

Etc.

Ainsi iGi, composé de 7 et 23, est la différence des petits côtés des triangles surprimilifs :

et 4oo. 56 I. 68g,

et de chacun d'iceux on peut faire une infinité de triangles primitifs qui auront le même iGi pour différence, et partant, le quarré de i(Ji