L. - G SEPTEMBRE IC

double — 2 du mônu' nombre, on ne Irouvera pas les triangles (|ni se font par 29 et 12 ou par Go et 2f)3, et une infinité d'autres; mais on les trouvera tous par la règle (jue vous mettez en l'écrit particulier (') que vous avez envoyé, qui se fait mettant pour un des nombres constitutifs du triangle un nombre composé de deux quarrés premiers entre eux et de divers ordres.

Et cette dernii're méthode sert ii trouver tous les primitifs dont les côtés des quarrés (-) sont comme d'un nombre impair à un autre nombre. Par exemple, on trouvera par iceile qu'il y a deux triangles oïl les cotés des quarrés sont comme de G5 ;i un autre nombre, et dont le moindre côté est différent d'nn quarré des deux autres : savoir les deux qui sont laits de Gj et il et de G5 et n\ et les autres qui sont en même proportion.

Mais si on vouloit tous les triangles primitifs dont les racines des quarrés sont comme d'un nombre pair à un impair, comme par exemple de Go à cjuelque autre nombre, on n'y pourroit pas satisfaire par cette seconde règle, sinon après un long tâtonnement ('), et la première règle ne donne que la raison de Go à 18G1 ; mais il y a encore trois autres proportions, outre cellc-lii, qui ont toutes Go pour un de leurs termes.

.l'ai deux règles différentes dont chacune donne tous les triangles

( ') licril |)er(Jii. — La première règle de Fermai consiste à prendre pour les nombres servant à former le triangle rectangle {voir page 2-^.3, note 1)

p = r-^ l, q = ir — 1.

La seconde règle à prendre, r et *■ étant premiers entre eux,

/< = r^ -4- .f 2 , q =: Oiir — ,f ) .v.

(^) Freniclc appelle ici aUcs ou racines des quarre's les nombres servant à former le triangle rectangle, désignés par/; et q dans la note prcccdenlc. C) Si l'on pose

P = —^ et ,; = /• — 1 ,

et que l'on fasse 7 = 60, on aura

Les trois autres proportions sont

Oo, 29'i ; Go, aGg; Go, t'jj. l'tnsiAT. — n. .3o

234 ŒUVHES DE FEHMAT. - COUUESPON D ANCE.

susdits, avec celte ilifTércncc que l'une regarde la proportion qui coniiiieiice par un pair et l'autre celle qui couiinence par un impair.

Va celle-ci n'est pas beaucoup din'érente de votre dernière ('), car, ayant pris un triangle primitif, je me sers de son livpolénusc pour le premier ternie, et pour l'autre, j'ote d'un des cotés du triangle la difrci'eiice de l'autre côté à l'hypoténuse.

Kxemple : Que 20, 21, 29 soit le triangle, 29 le premier terme; pour l'autre, j'ôte de 20 la dillérencc de 2t à 29, ou de 21 la diirércnce de 20 il 2(), e( restera 12. On aura donc 2() et 12 dont les quarrés composeront le triangle cherché.

3. Vdlrc première règle (- ) pour trouver (rois quarrés en proportidu arithmétique a le même défaut ([ue la précédente, car on ne les peut |)as trouver tous par icidle. Par exem[)le, on ne trouvera pas les quarl'és de I, 2(), 1 1 , ou de 17, 53, -l'.i. .Mais, par la proposition que vous mettez en l'écrit particulier, on les peut tous comprendre.

Vous [louviez aussi donner aisément par la première règle le troisième <|uarré, sans obliger ;i prendre la diiïérencc des deux (juarrés trouvés. (jOmme : en l'exemple que vous apportez, le q narré — 2 de "i est 2'5; le quarré suivant +1 est 37 : si on veut avoir le troisii-me nombre, il faut ajouter à 37 le double de ), et on aura /17.

Si on prenoit 4. son quarré — 2 est iZi ; le quarré suivant -i-i est 2(j, au(|uel ajoutant 8, double de 4. <>'i aura 3'|. Les trois nombres, étant réduits, sont 7, i3, 17.

La méthode dont je me sers pour trouver ces trois quarrés proportionaux, est tout autre que celle-là (^), et voici comme on procède pour les avoir tous :

( ' ) CeUe règle de l'ronicle revient en etîet à la seconde de Fermai.

(') Cf. LeUre XLVIil, 8. — La règle générale de Fermât, parait avoir consisté de fuit à prendre pour les racines des trois carrés les noml)res r- — a.f-, /■- h- 2 r.f -1- 2 v^, /■- t- irs -h 2.f2. La première règle revenait à su|)poser .f = i .

(•■') Cette règle de Frenicle, revenant à prendre ponr les racines des trois carrés en progression arithmétique les nombres /:>'— ■>.j>rj — (f-, />-+ 7-, p"- + 2/1(7 — tj^, concorde en réalité avec la règle générale de Fermât (ixiir note précédente), si l'on a /> = /• + v cl 7 = ■■<■