J'ajouterai encore cette petite proposition

Si d'un quarré vous ùtez 2, le reste ne peut être divisé par aucun nombre premier qui surpasse un quarré de 2.

Comme prenez pour quarré loooooo, duquel, ùté 2, reste 999998. Je dis que le dit reste ne peut être divisé ni par i 1 , ni par 83, ni par 227 etc. ,

Vous pouvez éprouver la même règle aux quarrés impairs et, si je voulois, je vous la rcndrois belle et générale; mais je me contente de vous l'avoir indiquée seulement.

9- Avant que finir, voici une autre proposition, laquelle vous fournira peut-être quelque application, comme vous y êtes très heureux.

Si un nombre est mesuré par un autre et que le nombre divisé soif encore divisé par un autre nombre moindre que le premier diviseur, en ce cas, si vous otez du quotient de la seconde division, multiplié par la dillerenccdcs deux diviseurs, le reste de la seconde division, ce qui restera sera mesuré par le premier diviseur ( ' ).

Exemple : 121 est mesuré par 1 1. Divisez encore 121 par 7; le (]uoliiMil sera 17 et le reste de la division 2.

Multipliez le quotient 17 par '\, différence du premier et du second diviseur, et du produit G8 ôtez-en 2; reste OG ([ui sera aussi mesuré par I I, premier diviseur.

10. Que si le second diviseur est plus grand que le premier, en ce

( ' ) C'cst-ù-diro que si l'on a

. a = bq = l>tq, + r,

si l'on a /' >/'!, b di\ ise r/, (i — i, 1 — r. Si au conlraire li '. h[, h d'wisu (/[(bi — f') -i- r.

«■as, si vous ajoultv. au (|U(tliiMil de la sccoudc divisiou, multiplié par la (lillÏTouco di's deux diviseurs, le rcslo de la seconde division, ce (|ui restera sera mesuré par le premier diviseur.

Exemple : 117 est mesuré par 3. Divisez encore 1 17 par 'j ; le (|uoticnt sera 29 el le reste de la division i.

Ajoutez au quotient -n^, multiplié par la dilTéronce des diviseurs ( (]ui ne change ici rien, parce que c'est l'unité), le reste de la dite division, qui est i; la somme 3o sera aussi mesurée par 3, premier diviseur.

J'ai déjii trop écrit et il me semble qu'il est temps que vous parliez, après avoir employé si mal votre temps à lire cette longue lettre, ([ui vous confirmera que je suis etc.

FERMAT A MERSENNE

MAIIDI 23 DÉCEJIllKE IC'iO.

(A, f" i2-i3 to, B, t° H).)

Mon Révérem) Pf;RE,

1. .le languissois dans l'attente de vos lettres et de M. de Frenicle. Je suis bien aise qu'il approuve ce que j'ai l'ait ('); et afin (|u'il ne soit plus en doute de ce que je lui demande, voici trois questions que je lui propose, pource que les spéculations que j'y ai faites ne me satis- Ibnt pas pleinement :

i" La raison essentielle pourquoi 3, 5, 17, 257, etc. à l'infini, sont loujours nombres premiers;

2° Qu'il me donne quelqu'un de ses autres moyens pour trouver

(■ ' ; La réponse de Frenicle à la Lettre XLIV est perdue.

\LV. - -26 DECEMBRE 16iO. 213

à l'intîiii des nombres premiers de tels nombres de figures qu'on voudra.

Sur quoi je voudrois être éclairci si une de mes pensées est vraie, qu'en la progression d'un nombre pair, comme G, toutes les puissances + I de la progression qui ont pour exposant : i, 2, 4, H, iG, etc. sont nombres premiers, si elles ne sont pas mesurées par un de ceux-ci : "5, 5, 17, 267, etc.; laquelle proposition, si elle est vraie, est de très grand usage.

Si je puis une fois tenir la raison l'ondamentale que 3, j, 17, etc. sont nombres premiers, il me semble que je trouverai de très belles choses en cette matière, car déjà j'ai trouvé des choses merveilleuses dont je vous ferai part, après que j'aurai eu votre réponse et celle de M. Frenicle.

3° Je lui demande un moyen plus général que celui que j'ai inventé pour savoir quels sont les multiples de l'exposant utiles à la division.

Après cela, je travaillerai aux propositions que vous me demandez.

2. Sur le sujet des triangles rectangles ('), voici mes fondements :

1° Tout nombre premier, qui surpasse de l'unité un multiple du quaternaire, est une seule fois la somme de deux quarrés, et une seule fois l'hypoténuse d'un triangle rectangle.

2" Le même nombre et son quarré sont chacun une fois la somme de deux quarrés;

Son cube et son quarréquarré sont chacun deux fois la somme de deux quarrés;

Son carrécube et son cubecube sont chacun trois fois la somme di' deux quarrés;

Etc., à l'infini.

3" Ce même nombre étant une fois l'hypoténuse d'un triangle rectangle, son quarré l'est deux fois, son cube trois, son quarréquarré quatre, etc. ii l'infini.

(') Comparer, Tome I, VO//.fc'rvalio/i T'H sur Diopliaittc.

21V (KUVHEft DE l-KUM A I . - COUUESPONDANCE.

j" Etant doniu' un nomltrc, pour savoir coiubiL'ii de Ibis il est l'iivpoténuse d'un triangle roctanf^lo, divisez-lo par tous les noiiihics proniiors. plus grands de l'unité (|u'uii niuiti[)l(' du (|ualcrnairc, qui le nu'suront. Puis rangez les exposants des puissanees des dits nombres premiers (|ui nu-surenl le nombre donné, en (el ordre que bon vous semblera, l'un a[)res l'autre. Multipliez le premier par le second deux fois, e( il cida ajoutez la somme du premier et du second; |>uis iiiullipliez cette dernière somme deux fois par le troisii'nie, el ajoutez au produit tant la dite dernière somme que le troisième, etc. ii l'infini. F.a dernière somme marquera à combien de triangles le nombre donné peut servir d'hypoténuse.

Les nombres premiers qui sont moindres de l'unité qu'un multiple du quaternaire, ni 2, non plus que leurs puissances, ne l'ont rien à la question, et n'augmentent ni ne diminuent le nombre des dits triangles rectangles.

Soit, par exemple, un nombre donné mesuré par 5, par le quarré de i3, par le cube de 17, et par le cube aussi de 29.

Nous aurons quatre diviseurs dont les exposants de leurs puissances, (]ui mesurent le nombre donné, sont :

Je multiplie le [iremier par le second deux fois : viendra \; ajoutez-y le premier et le second : viendra 7. Je multiplie 7 par le troisième 3 deux fois : viendra /|2, auquel ajoutant 7 el 3, c'est j2. Je multiplie )2 par le quatrième (qui est 3) deux fois : viendra 3 12, auquel ajoutant 5-2 et 3, viendra 3G7.

Je dis donc que le nombre donné sera l'iiypoténuse de 3G7 triangles rectangles et non plus.

5" Pour trouver, par exemple, le moindre nombre de tous ceux qui sont 3G7 fois S(uilement l'iiypoténusi' d'un ti'iangle rectangle, je double le nombre donné et au dit tlouble j'ajoule l'unité : vieiulra 735, duquel je prends tous les diviseurs sépai'ément. (Quoiqu'un nombre mesure et par soi et par ses puissances, j'enlends tous les diviseurs (|ui