XLV. — 23 DECEMBRE 1G40. -ilo
sont ii()ml)ros preiiiiors; le dit nombre se trouve donc divisé aux dites conditions par 3, î), 7, 7. J'ùte de chacun des dits diviseurs l'unité el prends la moitié du reste : viendra i, 2, 3, 3.
Il faut donc prendre (juatre nombres premiers plus grands de Tunilc qu'un multiple du quaternaire, et prendre leurs puissances exposées par les dits quatre nombres. En quoi faisant, vous satisferez à la question généralement en multi[)liant les dites quatre puissances entre elles.
Que si vous voulez le moindre nombre satisfaisant à la question, il faudra prendre les quatre plus petits nombres premiers de la qualité requise, qui sont : j, i3, 17, 29, et pour leurs puissances, il faut que celle du plus petit ait le plus grand exposant, et ainsi des autres. Nous prendrons donc le cube de .5, le cube de i3, le quarré de 17, et 29, et multipliant tous les uns par les autres, nous aurons le moindre nombre de tous ceux qui servent d'hypoténuse à 3G7 triangles rectangles el non plus.
3. Il s'ensuit de là que si le double du nombre donné, plus i, es! nombre premier, en ce cas le nombre cherché ne peut être divisé que par un seul nombre premier plus grand de l'unité qu'un multiple du quaternaire.
Comme si vous demandez un nombre qui serve d'hypoténuse à 20 triangles rectangles et non plus, ponrce que 4i est nombre premier, il faut prendre la 20'' puissance d'un nombre premier de la qualité requise.
Vous trouverez, par conséquence aisée, un nombre qui ait autant de diviseurs différents que vous voudrez et qui puisse satisfaire à la question, lorsqu'elle est possible. J'iMilends des diviseurs de la qualité requise, car vous y en pouvez mettre, comme nous avons dit, autant que vous voudrez de ceux qui sont moindres de l'unité qu'un multiple de '1, ou bien 2 et telle de ses puissances que vous voudrez.
.le vous écris ceci si fort à la hâte que je ne j)rends pas garde si je fais des fautes, et omels beaucoup de choses dont je vous dirai li; menu une autre fois.
4- Pour la (iiuslion des ellipses (^'), oll(> so di'duira l'orl aisrmcnl de ro (]iio vous vouez do voir, car la quostion va là à trouver un nombre qui scr\e d'IiYpolénuse à 12 triangles et non pins, de telle qualité que la dite hypoténuse ait plus grande proportion au plus grand des deux autres côtés que le dit plus grand au moindre : c'ost-à-diro (|U0 chacun dos dits (riangics soit conimo, par oxomplo, 29, 21, 20. Ce qui est aisé, et ayant trouvé le dit nombre, son quarré sera le donii-diamètre dos ellipses.
Il le tant (|uarrer, afin que la porpondiculairo sur le foyer soit un nombre entier. J'en dis assez pour me faire entendre à M. Frenicle.
5. J'ajoute oiicoro qu'une toute pareille règle à la précédente des hypoténuses sert à celte question :
Etant donné un nombre, déterminer combien de fois il est la différence de deux iwmbres desquels le produit est un nombre quarré.
Et n'y a que celte différence, qu'en cette question tous les nombres premiers hormis 2 sont utiles, ce qui n'est pas en la précédente des hypoténuses.
Comme, si un nombre est mesuré par 3 et par le quarré de j, les exposants étant i et 2, multipliez le premier par le second deux fois, il (|uoi ajoutant leur somme, viendra 7. Vous pouvez donc assurer que 7.") est 7 fois la différence de deux nombres desquels le produit fait un (j narré.
Pour avoir le plus petit, vous userez de même voie.
Or, [>our trouver tous les triangles et aussi les dits nombres en cetfo
(') f'oir sur cette question, antérieurement proposée par Frenicle à Descartes, les Lettres (le ce dernier, du 9.0 décembre i63H ( éd. Clcrselier, II, <)5 ), du 9 février ifiSo ( II, 97), du 3o avril 1(339 (III, 84). Frenicle avait demandé de construire sur le môme grand axe (aa) un nombre déterminé d'ellipses telles que pour chacune la distance des foyers (ac) fût supérieure au petit axe (26) et qu'on pût exprimer en nombres entiers le grand axe.
le petit axe, la distance (a — c) a un foyer au sommet voism, et I excès I I > sur
la dislance des foyers, de la distance de l'un d'eux à l'extrémité de l'ordonnée passant par l'antre.
