XLVI. — 26 MARS ICI

son Appendix et De inveniione tangentimn in ciuvis [ '), m'élaiU engagé envers M. Despagnet de les lui faire voir.

3. Excusez l'importunité à laquelle je me trouve engagé par ma négligence. Voici, en revanche de la peine que je vous donne, une belle proposition tirée de mes Lieux ad superficiem (-) et qui n'est qu'une suite d'une des propositions du Traité entier :

S)oil une sphère donnée et en icelle décru un solide régulier. Je dis (jue, si vous prenez un point à discrétion dans toute la superficie de la sphère, et (pie de ce point vous tiriez des lignes à tous les angles du solide régulier, les quarrés de toutes ces lignes pris ensemble seront égaux à un espace donné.

(]omnie, si vous en désirez un exemple, soil une sphère donnée et en icelle décrit un tétraèdre. Je dis que, si vous prenez un poinl à discrétion dans toute la surface de la sphère, et que de ce point vous tiriez (|uatre lignes aux quatre angles du tétraèdre, les quarrés de ces ([uatre lignes pris ensemble feront un es|)ai'e (|ui sera double du quarré du diamètre de la sphère. Etc.

La démonstration n'est pas malaisée et se (ire facilement de celle d'une autre proposition que j'envoyai il v a longtemps à M. de Roberval (').

Je suis, mon Révérend Père,

Votre très humble et très affectionné serviteui',

Feumai'.

A Toulouse, ce aG mars iGii.

(1) FfM> Toins I, pages gi et suiv.; io3 el suiv.; iJ8 et suiv.; le dernier litre doit en effet designer l'écrit Doctrinam tangentimn.

(2) Foir Tome I, pages 1 1 1 et suiv. L'énoncé qui suit est un ca> particulier du lliéoréiue général : Si a quotciiinqne pimctix, page ii3.

(3) P'oir Lettre XIX.

■210 ŒU\ IIKS DE FEUMAT. — COIUIESPOND ANGE.

MAIL FERMAT A MKUSENNE {').

SAMUDI lo JUIN IC'll.

(A, f" l'i: lî, f° i5 v.)

Mon Rr.vKUEND Picr.E,

1. Je lâche de coiitentor assfiz amplonieiil la curiosilé do M. de Froiiiclo par la Lettre que vous trouverez dans votre paquet (/'). 11 m'a pourtant demandé la solution d'une question (') que je diffère de lui envoyer jusqu'à ce que je serai de retour à Toulouse, me trouvant présentement à la campagne où j'nurois besoin de beaucoup de temps poui' refaire ce que j'ai écrit sur ce sujet et (]ue j'ai laissé dans mon cabinet.

Voici pourtant un échantillon de cette question générale, que vous lui pourrez faire voir par avance :

En la progression de 3, tous les nombres premiers, qui sont différents par l'unité d'un multiple de 12, mesurent seulement les puissances — I. Tels sont : 11, i3, 23, 37, etc.

Eli la même progression, les nombres premiers, qui sont différents par 5 d'un multiple de 12, mesurent les puissances + i. Tels sont : i), 1 7, i(), etc.

En la progression de 5, tous les nombres premiers, qui finissent par I ou par f), mesurent seulement des puissances — i. Tels sont : 1 i, 19, etc.

Ceux qui finissent par 3 ou jtar 7 mesurent des puissances + 1 . Tels sont : 7, 1 3, 17, etc.

Vous aurez une autre fois la règle générale en toute sorte de progressions.

(') LeUrc incdile.

(») J^oir Pioce XLVlll ci-après.

(3) roir Leitres XLVlll, 12 cl XLIX, i2.

XLVIll. - 13 JUIN IGll. 221

2. J'attends maintenant qu'il vous plaise m'envoyer la copie de mes Traités (') que je vous ai si souvent demandée pour M. Despagnet.

Je suis, mon Révérend Père,

Votre très humilie et très affectionné serviteur.

Fermât.

Ce 1 5 juin i(>-i I.

3. Depuis avoir écrit la lettre de 31. Freniclc, j'ai trouvé la dernière question que je lui fais (-) :

Etant donné un nombre , déterminer combien de fois il peut être In somme des deux petits côtés d'un trian<^le rectangle.

S'il la veut, je lui eu ferai part, et serai cependant bien aise de voir sa solution.

FERMAT A FRENICLE {').

< 13 jLix 16V1 >

1- La proposition fondamentale des triangles rectangles est que tout nombre premier, qui surpasse de l'unité un multiple de \, est composé de deux (| narrés (^ ).

( < ) l'olr Lettre XLVI, 2.

( 2) Voir Lettre XLVIIL 11.

(') Cette pièce inédite, reproduite d'après une copie qui ne porto ni adresse ni date, ne doit être considérée que comme un extrait d'une Lettre de Fermât. Cette Lettre était évidemment adressée à Frenicle, dont nous avons la réponse (ci-après XLIX), datée du 2 août 1641. Le post-scriptnm de la Lettre XLVII ci-avant, adressée àMersennelo i5 juin ifi/ii, prouve d'ailleurs que le présent extrait a bien été fait sur la Lettre pour F'reniclo, mise par F'eruiat dans le paquet envoyé à cette date au Minime. L'auteur de l'extrait n'a copié que ce qui lui a paru avoir un intérêt mathématique et a négligé toutes les transilions d'une question à l'autre.

(^) Viiir Lettre XLV, 2.

■lî'l ŒUVRES 1)K Fi:UiM\T. - CORRESPONDANCE.

2. La nu'lliodi' pour trouver les IriaiigU's coiuposés eu conséquence des primitil's est dans les Livres ('), ou s'en peut tirer aisément :

Soit le nombre donné d"), ie(juei je trouve être Fliypolénuse de quatre triangles, [)ar la ri'gle déjà envoyée (-). Les nombres premiers de la (]ualilé re(|uise (|ui le composent sont "i et l'i. Le triangle ('■') de j est 5, .'|, 3; celui de i '5 est i), 12, 5.

Je multiplie la base 12 |)ar la base ^|, vient '|8; puis le petit côté 5 par l'autre 3, vient il; et derechef 12 par 3, en croix, vient 3(); puis 4 par j, vient '20.

La somme des deux premiers produits et la did'érencc des deux seconds font les deux petil;s cotés d'un des triangles cherchés, qui sera par conséquent : G.j, G3, iG.

Kt derechef la somme des deux derniers produits et la difl'érence des deux premiers sont les deux petits cùtés d'un autre des ti'iangles cherchés, qui sera partant : Gj, 5G, 33.

(Que si, au lieu de i3, 12, 5, vous aviez pris le même 3, 4. ^. on faisant la même opération, vous n'eussiez trouvé ([u'un seul triangle qui est, en mon précédent exemple : 20, 24, 7.)

Les deux autres triangles sont semblables aux deux premiers et se font, l'un en multipliant les côtés du premier par l'hypoténuse du second, et l'autre en multipliant les côtés du second par l'hypolénuso du premier; ils sont donc : Cj, .")2, 39; 6Ï>, Go, 2.5.

3. Cette méthode est générale, de sorte que toute la didicullé consiste à trouver les triangles primitifs, lorsque le nombre premier qui leur sert d'hypoténuse est donné, et cette question se réduit à la suivante déjà proposée (') :

litanl donné un nombre premier qui surpasse de l' unité un multiple de 4, trouver les deux quarrés qui composent le dit nombre.

(') Fermât va simplement en elTel exposer la métliodo de Dioplianlc, lil, 22, pour construire (pialre triangles ayant une munie hy|)Olénusc. (2) Dans la Lettre XLV, 2, i".

(') Le triangle qui a 5 pour hypoténuse. (') Probablement dans un passage non conservé do la présente Lettre.

XLVllI. - lo JUIN 1G41. 223

Car si l'on n'a ces deux quarrés, on ne sauroit trouver le trian;^le primitif. Mais ce problème, de trouver ces deux quarrés, est aussi malaisé que de tâtonner, et l'ordre de la proposition précédente est grandement dilïicile.

4. Soit un nombre impair donné, comme i5, les couples des nombres sous lesquels il est produit sont i , 1 5, et 3, 5. Chacun de ces deux couples le fait être un des petits côtés d'un triangle rectangle, car le premier couple (') produit le triangle : ii3, 112, i >; et le second couple produit le triangle : 17, iT), 8 (j'entends des triangles non composés).

Au premier de ces triangles, i5 est le plus petit côté, au second, le moven. On demande quelle est la proportion des deux côtés qui produisent un nombre impair, au-dessus de laquelle le dit nombre impair soit le petit côté, et au-dessous le moyen .

Je réponds qu'il est impossible de le déterminer exactement en nombres entiers, parce que l'équation d'algèbre produit des nombres irrationaux, quoiqu'on en puisse approcher à l'infini de plus en plus par nombres entiers.

Par exemple : si les deux côtés qui produisent l'impair sont enire eux en proportion moindre que de 2414 2i3 à 1000 000 ou égale, le nombre impair fera le moyen côlé; que si les deux côtés qui produisent l'impair sont en proportion plus grande que de 2414214 à 1000 000 ou égale, le nombre impair fera le petit côté.

On peut approcher ces deux proportions à l'infini, mais non en termes précis; elle sera (-) en termes irrationaux, savoir de i à i + Hq. de 2.

5. Il va des triangles qui se peuvent diviser en deux, et subdiviser

( ' ) En tlièse générale, suivanl le langage de Dioplianle, un triangle rectangle en nombre (7, //, c, est dit formé des deux nombres p et q, si l'on a

a = p--hq-, b = p- — </-, c = ipq,

relations qui entraînent l'égalité a- = b^--\-c'^. Mais ici, comme Fermai veut des nombres premiers entre eux et que a, b, c seraient pairs, il prend leurs moitiés. (2) Format renverse la proportion qu'il a indiquée plus haut.

Mi ŒUVRES ni: fi: UM Vr. - COHRESPONDANCE.

en tjualrt'. seize el ainsi laiil (pic l'on veiil. (miles les lignes des divisions deineiiraiil ediuiiiensiirahies en noiiihres entiers ( ' ).

Si i"(in enlend (|ne Taire dn (iian^le es( tlonltle, edrnine celle de i-, 1 "), 8, (jni esl donlde de l'aire de 1 3, ii, .), cela esl aisé et se pent ainsi énoncer :

Etant donnes i/cii.v nombres enlicrs. trouver deux triangles, desquels les aires soient en proportion de deux nombres donnés.

Il y a (|na(re règles pour soiidro eelle (|nes(i()n en ce sens (-).

6. Il V a des Iriangles don! les moindres cotés ne dillérenl jamais que de l'nnité, comme 3, !\, ") ; 20, 21, -k), lesquels se forment snr nn des termes par règle infaillilde à rinlini. Car il ne faut qu'ajouter le double de rhvpotéiuise h la somme des deux autres côtés, et le tout, ajouté au moindre coté, fait le côté moindre du triangle requis. Ajoutez-y l'unité, vous aurez le moyen.

Exemple : le double de 29 est jS ; ajoutez-y la somme des deux petits côtés, savoir /ji, vient 99, auquel ajoutez 20, qui est le petit côté; vient 119, auquel ajoutez l'unité, vous aurez 1 19 et 120 pour les deux moindres côtés du triangle requis, qui sera : 1 19, 120, 169.

I-'liypoténuse se fait du triple de l'hypoténuse et du double de la somme des deux autres côtés. Le triple de l'hypoténuse est S-, le double de la somme des autres côtés 82, lequel, avec 87, fait 1G9, ([iii est l'hypoténuse requise.

Nous avons donc tiré du triangle : 20, 2f, 29, celui-ci : 119, 120, 1G9; de celui-ci, nous en tirerons un autre à l'infini.

Même méthode pour trouver un triangle, ladilférencc des moindres côtés duquel soit un nombre donné. J'omets les règles et les limitations pour trouver tous les possibles de la qualité requise, car la règle est aisée, en supposant les fondements.

7- il y a des triangles auxquels le moindre côté est toujours diffèrent d'un (juarré de chacun des deux autres, comme 20, 21, 29.

( • ) roir LcUrc XLIX, 4.

(') Fb/> l'Observation XXIX sur Dioplianle et ci-après, 10, la première de ces règles.

\LV111. - 13 JUIN IGil. 2-2">

Trouvez, par la précédente, un triangle non composé, les côtés moindres duquel diflerent par un quarré, comme 20, 21, 29 ou tel autre.

S'il a les qualités requises, il en faut tirer deux de celui-ci par la méthode précédente, et le second qui viendra satisfera à la proposition.

Et s'il n'a pas les conditions requises, le premier qui s'en tirera, par la précédente, satisfera à la proposition.

Comme : 3, 4. 5 ne satisfait qu'à la précédente et non à celle-ci. Le premier qui s'en tirera y satisfera, à savoir : 29, 21 , 20, et si de cettuici vous en tirez un, viendra 119, 120, 1G9, qui ne satisfait pas à cette question; mais celui qui s'en tirera, à savoir : 983, 697, G96, et ainsi à l'infini, alternativement, y satisfera.

8. 11 y en a d'autres qui pris par couples ont leurs différences relatives ( ' ) comme 1 1 , ()o, Gi et 119, 1 20, iCk).

Pour les former, il faut trouver trois quarrés en proportion arithmé lique, qui sont par exemple : i, 25, 49- Formez l'un des triangles de la somme des côtés des premier et deuxième quarrés et du côté du second, et formez l'autre triangle de la somme des deux côtés du second et du troisième, et du côté du deuxième, vous aurez les deux triangles requis.

Autre exemple (- ) : Soient exposés les trois quarrés en proportion arithmétique 49. 1G9, 289.

Les deux triangles se formeront de 20 et 7 et de 3o et 7, et seroiil

/i49, 35 1, 280; y49> ^ji» 420.

9. Trouver un nombre qui soit autant de fois qu'on voudra polygone et non plus (').

(') C'cst-à-diro deux triangles rectangles en nombres («, h, c) («i, Ai, ci), tels que l'on ait a — ù = l/i — ri et /^ — r = «j — /;].

(2) I'"ernial commet dans cet exemple une erreur de plume. Car, d'après sa règle, ayant les carrés 7-, i32, 172^ j| devait former les triangles, l'un de 7 M- i3 = lo et de i3. l'autre de i3 -(- 17 = 3o et de i3; il aurait ainsi trouve les triangles 569, 620, 23i et loGy. 7S0. 73 1, satisfaisant au problème proposé. P'oir ci-après, XLIX, 6.

(3) Question proposée par Fermât à Frenicle. Foir Lellrc XLIX, 7.

Fermât. — U. ag

•ÎH\ ŒIIVRKS 1)K FERMAT. (.OURESPONDANCE.

10. Irouvor deux (liaiiglos doiil les airos soient on propoilion donnée {' ).

Voici la règle la |)lus éléiianle :

Soient les den\ nombres qui expriment la proportion donnée, a cl /v. Les deux triangles se forment : le premier, de a bis + h et de a — b; le second, de h bis -h n ci de a — />.

Vous aurez donc deux triangles qui seront par leurs aires en proportion donnée. (]ar, si vous les demandez de 5 à 3, les deux triangles se formeront, le premier de i3 et 2, le second de 11 et 2, et les deux triangles seront : 173, i65, .')2 I 12"), 117, 44.

H. Etant donné un nombre, trouver combien de fois il peut être la somme des deux petits côtés d'un triangle rectangle {'' ).

12. Règle pour déterminer les nombres premiers qui, en toute progression, mesurent les puissances — i seulement, ou + i aussi (').

FRENICLP] X FERMAT {■').

VENDREDI 2 AOUT IGil.

{Ta, \i. 166-168.)

Monsieur,

1. .l'étois dans l'impatience de savoir votre retour h Toulouse, pour me donner l'honneur et le contentement de continuer nos conférences, lorsque le Révérend Père Morsenne m'en adonné avis; j'espère qu'elles dureront plus longtemps que je ne pensois, parce qu'il est survenu quelque chose qui m'arrête ici.

( ') /'»//• plus luiul, 5.

(') Question proposée par Format à Frcniclc. /'>;//■ Lettre XLVII, 3, el XLIX. 9. (') Question proposée par Frcnicle à Fermât. To/r Lettre XLVII, 1, et XLIX, 12. (') Réponse à la Lettre précédente, XLVUI.