L. — G SEPTEMI5UE IGil

double qiiarré. Gela s'observe toujours aiusi; et aux nombres qui sont composés de deux nombres premiers, comme 119, il a quatre couples, dont un des nombres est moindre que 119. Et voilà la méthode dont je me sers pour voir quels sont les couples utiles pour faire les triangles, car ce sont ceux auxquels un des nombres est moindre que la diiïérence.

Ainsi, h 17, les deux couples utiles sont i, 18 et 8, 2/), à (diacun desquels couples il y a un nombre moindre que 17, et, selon votre méthode même, on se servira aussi bien de i, 18 que de 21, 8. Car si à 2j, 8, on prend 2 et la différence de 5 à 2, de même à r, 18, on aura 3 et la dilleroncc de 1 ii 3, et on aura, en l'une et l'autre sorte, les mêmes, nombres 2, 3.

De même, si on donnoit iGr, on auroit quatre couples, savoir :

il chacun desquels il y a un nombre moindre que lOi .

Et, pour trouver les triangles, je me sers des racines des doubles (juarrés, car elles sont les racines des quarrés qui composent l'hypoténuse. Ainsi à 17, on aura 1 et 3, racines des doubles quarrés 8, 18 ; mais, quand il y en a quatre, comme à 161, je prends les extrêmes, savoir 9, 8, et celles du milieu, 2, ir, qui donneront les triangles : 17, \'\\, 145, et 44, 117, I2J.

Pour avoir le coté pair du triangle, il faut prendre le double du produit des racines susdites des doubles quarrés : ainsi le double de 9 par 8 est i44. et le double de 2 par 1 1 est 44-

Mais pour le coté impair, on prend le produit des racines des quarrés simples : ainsi r par 17 donne 17, et 9 par i3 donne 117, le premier pour le triangle 17, \\\, i4n le second pour 44» '17» i2">.

•i'iO (KlIVRES l)i: IKKMAT. - CORRESPONDANCE.

1- Vous voyoz si j'ai eu raison de dire (\in^ les nomhrcs susdits sont la dilTcrciit'o de (Icii.v couplos (iiiaiid ils son! preniicr's, (■( de (/tiafre couples lorsqu'ils sont divisibles par deux nombres premiers. iMais ce (|ui le nioiilrera (Micore mieux est la façon de Irouver fous les couples donl un des dits nombres est la dillérence : car, selon ma méthode, il est nécessaire iravoir ces deux couples qui l'ont comme deux souches.

Kxemple : O/i me demande tous les quanès et doubles tjuarrés dont ~j est la différence. Je cherche les deux couples utiles \\ chacun desquels il y a un nombre moindre que 7; j'aurai 1,8 et 9, 2. Je prends leurs racines et en fais deux colonnes séparées comme on voit ici :

Quarrés. Doubles quarrés.

QuaiTos.

Doub

es quarrés

e( mets en chaque colonne les racines des quarrés d'un ccMé et celles des doubles quarrés de l'autre. J'ai donc d'un côté 1,2; pour avoir les racines des couples suivans, je prends la somme de i, 2, qui est 3, pour la racine du double quarré, et la somme des racines des deux doubles quarrés prochains pour la racine du quarré. Ainsi la somme lie 1 , 2 est 3, et celle de 3, 2 est .5 : j'ai donc 5 et 3. Pour le troisième couple, la somme de 5, 3 est 8, celle de 8 et 3 est 11. On poursuit ainsi autant qu'on veut, et l'autre colonne qui commence par 3, i, se fait de même.

A chaque colonne la rangée de main droite, dont les nombres sont pairs et impairs alternativement, contient les racines des doubles quarrés, lesquels sont plus grands que les quarrés, lorsque la racine du double quarré est paire, comme i , 2 et 1 r , 8 ; mais le double quarré est moindre quand sa racine est impaire, ce qui a lieu lorsque le moindre quarré des deux qui composent l'hypoténuse du triangle dont la dite

difTéronce est la somme des côtés, est impair, comme à 3, 4. 5; mais c'est le rebours, quand le moindre quarré est pair, comme au triangle 5, 12, i3.

8. Je laisse le reste pour le premier voyage, auquel je vous envolerai aussi la méthode dont je me sers pour former les triangles relatifs en différence ('), comme i i. Go, Gi et i 19, 120, iCk); car je ne me sers pas des trois quarrés proportionaux.

Voici seulement ce que je vous proposerai :

i" Trouver le moindre nombre qui soit autant de fois qu'on roudra. et non plus, la somme de deux quarrés (-).

2" Trouver un triangle auquel le double du quarré du petit côté étant ôté du quarré de la différence des deux moindres côtés, il reste un quarré. Par exemple, si le triangle cherché étoit 7, 24, 2j, il faudroit qu'otant 98 de 289, le reste 191 fût un quarré.

3" Trouver un nonibie qui serve d' hypoténuse à tant de triangles <pion voudra, et non plus à chacun desquels le produit du moindre côté par l' hypoténuse soit plus grand que le quarré du moyen côté.

'1" Trouver les bornes des proportions que les racines des quarrés constitutifs des triangles doivent avoir l'une à l'autre, afin que les triangles aient la propriété du troisième problème.

Pour ceci, il y a autant de danger que les racines pèchent en excès qu'en défaut, mais elles ont un espace assez grand pour s'égayer, et elles ne sont pas gênées comme à l'autre limitation que vous m'avez envoyée. Si les racines sont en proportion double ou moindre, ou si elles sont en proportion triple ou plus grande, les triangles n'auront pas ladite propriété. Entre ces deux proportions, il y a un grand espace qui contient une infinité de proportions propres à ces triangles, lequel pourtant n'est pas si grand que la différence et intervalle des proportions double et triple, mais est un peu plus rétréci.

(') l'hoir LcUrcs XLVIII, 8, cl XI.IX, 6.

(2) yoir l'Observation VII sur Diophaiile, t. I, p. 29G.

U. — Peuuat. 3i

■ivî (i: i \ Il !•: s n k f i-: u m vt. - c o u u e s p o n d a n c e.

9. Vous irav.v. pas pris gardo (iiu- je vous avois proposo, par ma pivotMliMUe ^' ). tlo fairo la mémo choso de rcncoinlo cnlièro du triangle, .[uo vous demamlioz de la somme des deux moindres eôtés.

■le suis etc.

(M l.ollre XI.IX. 10.