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SagS.

et on les peut continuer tant qu'on voudra en continuant les trian-

ûies.

Voilà donc pour la première chose qui appartient aux dits quai'rés.

5. La seconde est de trouver les dits trois quarrés en telle sorte qu'ils soient comme enchaînés l'un à l'autre et que le dernier et plus grand des trois soit le premier des trois suivans : comme on peut voir en ces colonnes, la fabrique desquelles je vous envolerai au premier voyage; toutefois j'estime que par l'inspection vous la jugerez aisément.

ii3.

iG-

Il y a aussi des voies pour avoir les différences égales desdits quarrés : car, en la première colonne, si on multiplie i\ par les sommes de tous les quarrés, lesquelles sommes sont i, 5, \\, 3o, etc., on aura

(')Frcniclo reprend la construction de trois carrés en progression arithmétique d'après les séries de Iriingles commençant par 5, 12, i3; 8, i5, 17.

•238 ŒTVRES DK FKItMAT. - COHUESPONDANCE.

les diUorencos des quarrés, vl (M1 la socoiule coloiiiu', il laiidroil imilliplior 2'| par los sommes des soiils qiiarrés impairs. •

Il y a d'antres choses à cniisidérer lii-dessiis, (jiie je n'ai pas iiiaiiilenaiil le loisir de déduire plus au loui;'.

6. Me voici niaiiileuaut ii l'eudroil de voire i.cKre, aïKpiel vous parlez tles iKUiiljres (jui sont la soaunc des deux petits colés d'un triangle (^') et, sur ce sujet, je vous dois ôter de l'opinion que vous avez que je ne susse pas que cliacun de ces nombres peut siM'vir de différence à une infinité de ([narrés et de doubles quarrés. Vous vous êtes fondé sur un avertissement que je donnois, que les dits nombres sont toujours deux l'ois la différence d'un quarré et d'un double quarré; mais je n'ai pas dit qu'ils fussent seulement deux fois la différence d'un quarré et d'un double quarré, comme vous croyez avoir lu. Il faudroit avoir bien peu de pratique aux nombres pour ne s'être pas aperçu d'abord que 7 est quatre fois la différence entre de fort petits nombres : savoir entre i et 8, 2 et 9, 18 et 25, 23 et 32. Et je ne vous ai pas coté cela pour une propriété des dits nombres; mais, vous ayant demandé le moyen de trouver le triangle dont un nombre donné est la somme des côtés, sans avoir les quarrés et doubles quarrés dont il est la dinérence (-), il falloit vous avertir que les dits nombres étoient toujours deux fois la différence d'un (juarré et d'un double quarré.

Car il y a deux couples dont je me sers pour avoir le dit triangle. Par exemple, pour avoir le triangle dont 7 est la somme des deux côtés, je me sers de i et 8, et de 2 et 9. Et, pource que j'étois pressé, je n'eus pas le loisir de m'éidaircir davantage. Je n'entends pas que les dits couples soient 2, 9 et r8, 2"), comme vous avez cru, mais i, 8 et 2, 9; et ce que j'observe en ceci est que les dites sommes sont deux fois la différence d'un quarré et d'un double ((uarré, en chaque couple desquels il y a un nombre moindre que la différence donnée : savoir, il un des couples le quarré est moindre, et à l'autre couple c'est le

( ') f'oir Leltrcs XLVlll, 11, el XI.IX, 9. (î) Foir Lettre XLIX. 10.