FRAGMENT D'UNE LETTRE DE FERMAT

Tout nombre impair non quarré est difTérent d'un quarré par un quarré, ou est la diiïérence de deux quarrés, autant de fois qu'il est

( ') Sur le problème ainsi posé, il était aisé de trouver la composition du dernier nombre. En effet, si, pour trouver le rapport du produit à la somme des parties aliquotes, on pari du premier nombre qui est 2^^ x 5^, on remarque que 2^^ a, pour somme de ses parties aliquotes, 223 x 616 318177. Le second de ces deux facteurs correspond de même à la somme 2 x 7' x 898 '|23. Ce dernier facteur ne se retrouvant pas, comme les précédents, parmi ceux du produit proposé, il est naturel d'essayer de diviser par lui le dernier nombre donné, dès que l'on ignore si celui-ci est premier. Par conséquent, quelque méthode que possédât F'ermat pour rechercher si un nombre est premier ou non (voir Pièce LVII), il est improbable qu'il ait employé cette méthode et fait des calculs plus longs que ceux que nous avons indiqués.

(2) Le fragment qui suit a été publié par M. Cliarles Henry (Recherches etc.. p. 191) d'après le brouillon d'Arbogast, transcrit d'une copie perdue de Mersenne. Il ne renferme que l'exposé d'une méthode pour la recherche des diviseurs d'un nombre, en commençant par les plus grands, et répond ainsi à une question faite par Mersenne pour le compte de Frenicle (Cp. LVI, 4) et sur laquelle les correspondants de Fermât ont dû revenir. Mais la copie d'Arbogast porte le titre : Des nombres des parties aliquotes, qui semble indiquer que ce fragment faisait partie d'une communication beaucoup plus étendue, adressée soit à Mersenne, soit à Frenicle. Dans ce cas, la date en serait probablement postérieure à celle que suppose le rang assigné à cette pièce pour la rapprocher de la Lettre LVI.