LXVIII. — SAMEDI 20 AOUT

priété soit, en prenant A pour l'appliquée et E pour la portion du diamètre qui lui correspond :

Lattis cub. (Z<7.in A — Xc.)-\- lat.quad.quad.(Bpl. pi. — ïiq. in B in A + A(/y.) + lat. quad. (B in A — Aiy.) + lat. quad. cub. {Aqc. — Bqq. in A).

Ilœc ornnia quatuor homogenea, quce, in hoc casu, sunl rectœ, œquen-

tur

Quœritur tangens ad punctum daturn in cun'a cujus superior œqualitas proprietatem specijicam reprœsentat.

Que fera en ce rencontre la méthode de M. Descartes que vous savez être infiniment plus embarrassée que la mienne? mais que fera encore la mienne, si les asymmétries ne sont ôtées?

Pour les ôter, la méthode que je vous envoyé en vient à bout sans nulle difficulté, car, en donnant à chacune des lignes irrationelles le nom d'une seconde racine, tierce, quarte et cœt., on vient toujours à des doubles égalités lesquelles se réitèrent jusques à ce que l'applica- (ion (ou la division) ôte la dernière de ces racines, puis la pénultième, et ainsi en rétrogradant jusques à ce que toutes les nouvelles racines inconnues que vous aurez prises à discrétion aient entièrement disparu, et pour lors il vous restera une équation sans asymmétrie en laquelle il n'y aura de racines inconnues que les deux premières A et E, qui n'auront que changé de degré à cause des multiplications fréquentes et nécessaires à chaque opération, et cette équation exempte' d'asymmétrie représentera la propriété spécifique de la courbe.

Or, quand nous avons la propriété spécifique de la courbe sans asymmétrie, ma méthode de tangentihus donne la tangente très simplement et par la seule application ii tous les cas généralement, soit que la propriété spécifique aie relation à des lignes droites seulement, soit qu'elle l'aie aussi à des courbes. Et partant, en joignant les deux méthodes, la tangente de la question proposée se trouve par l'application simple, ce qui semble merveilleux.

•286 ŒrVIJES DE FERMAT.- COIIRESPON [) ANCE.

Jo n'ajoute pas l'opéralion onlii'rc, ])oiirco (jiio la lonj^iiciir du (ravail ino lassoroit, mais, en un mol, il sulFil que vous voyez très clairement le progrès et la fin tle l'ouvrage; ce que je crois avoir été inconnu jns(jues à présent, puis(|uc JM. Descartcs, que je nomme avec tout le respect qui est dû à la mémoire d'un si merveilleux homme, proposoit comme une dilTiculté insurmontable la question suivante :

l-llaitl donnés quatre points et une courbe, en laquelle prenant un point à discrétion, les droites menées de ce point aux quatre donnés fassent une somme donnée, trouver une tangente à quelconque point donné de cette courbe.

ainsi (juc je puis l'aire voir par une de ses lettres ('). Pourtant, mes nu'thodes jointes ensemble en donnent la solution simple, et l'opération <C se fait > en se jouant.

Vous comprenez par là que le principal et plus considérable effet de cette méthode paroît aux tangentes de toutes sortes de lignes courbes il l'infini, puisque les tangentes s'y trouvent toujours par application simple, et après cela aux questions que j'appelle abondantes, qui se résolvent aussi par la seule division, sans aucune extraction de racines et caet.

3. En voilà trop pour une seconde lettre, mais je suis d'humeur à vous faire paroitre ce que peut notre ancienne amitié. Peut-être que ces petits éclaircissements serviront à ce qu'il y aura de trop concis dans mon écrit latin, quoique je ne doute point qu'après que vous et messieurs à qui vous le communiquerez y auront un peu rêvé, ils n'en trouvent l'intelligence et la pratique aisée.

Je n'ai (ju'à vous avertir que l'ordre des pages de mon petit Traité est marqué par chiffres, et qu'il y a un endroit, en la page septième, qui semble défectueux, qui pourtant ne l'est pas, et il faut tout écrire comme un sens continu, ainsi que vous comprendrez d'abord.

') Celte IcUre n'a pas été conservée.