LXX. - 29 JUILLET iGok
Considérez donc, Monsieur, que, si le premier gagne, il lui appartient 64; s'il perd, il lui appartient 32. Donc, s'ils veulent ne point hasarder cette partie et se séparer sans la jouer, le premier doit dire : « Je suis sur d'avoir 32 pistoles, caria perte même me les donne; mais » pour les 32 autres, peut-être je les aurai, peut-être vous les aurez, le » hasard est égal. Partageons donc ces 32 pistoles par la moitié et me » donnez, outre cela, mes 32 qui me sont sûres. » Il aura donc 48 pistoles et l'autre iG.
Posons maintenant que le premier ait deux parties et l'autre point, et ils commencent à jouer une partie. Le sort de cette partie est tel que, si le premier la gagne, il tire tout l'argent, G4 pistoles; si l'autre la gagne, les voilà revenus au cas précédent, auquel le premier aura deux parties et l'autre une.
Or, nous avons déjà montré qu'en ce cas il appartient, à celui qui a les deux parties, 48 pistoles : donc, s'ils veulent ne point jouer cette partie, il doit dire ainsi : « Si je la gagne, je gagnerai tout, qui est 64; » si je la perds, il m'appartiendra légitimement 48 : donc donnez-moi » les ^8 qui me sont certaines, au cas même que je perde, et partageons » les iG autres par la moitié, puisqu'il y a autant de hasard que vous » les gagniez comme moi. » Ainsi il aura 48 et 8, qui sont 56 pistoles.
Posons enfin que le premier n'ait qii une partie et l'autre /^ot«i. Vous voyez. Monsieur, que, s'ils commencent une partie nouvelle, le sort en est tel que, si le premier la gagne, il aura deux parties à point, et partant, par le cas précédent, il lui appartient 56; s'il la perd, ils sont partie à partie : donc il lui appartient 32 pistoles. Donc il doit dire : « Si vous voulez ne la pas jouer, donnez-moi 32 pistoles qui me sont » sûres, et partageons le reste de 56 par la moitié. De 56 ôtez 32, » reste 24; partagez donc 2'i par la moitié, prenez-en 12 et moi 12, » qui, avec 32, font 44- »
Or, par ce moyen, vous voyez, par les simples soustractions, que, pour la première partie, il appartient sur l'argent de l'autre 12 pistoles; pour la seconde, autres 12; et pour la dernière, 8.
Or, pour ne plus faire de mystère, puisque vous voyez aussi bien
±)1 (F.rVllKS DE rEHMAT. - COU RESPON I) ANCE.
tout à (locouvert et (]iu' jo n'en l'aisois que pour voir si jo ne nie trompois pas, la vali'ur y'enlonds sa valeur sur l'argent de l'autre seulement^ (le la dernière partie de t/ci/.v est double de la <] dernière > partie de /rois et quadruple de la dernière partie de quatre et octuple de la dernii're partie de ci/k/. etc.
3. Mais la pi'oportion des premières parties n'est pas si aisée à trouver : elle est donc ainsi, car je ne veux rien déguiser, et voici le problème dont je l'aisois tant de cas, comme en ell'et il me plaît fort :
Etaiil donné tel nombre de parties qu on rendra, trouver la valeur de la première.
Soit le nombre des parties donné, par exemple 8. Prenez les huit [iremiers nombres pairs et les huit premiers nombres impairs, savoir :
et
I, 3, 5, 7, 9, II, i3, i5.
Multipliez les nombres pairs en cette sorte : le premier par le second, le produit par le troisième, le produit par le quatrième, le produit |)ar le cinquième, etc.; multipliez les nombres impairs de la même sorte : le premier par le second, le produit par le troisième, etc.
Le dernier produit des pairs est le dénominateur et le dernier produit des impairs est le numérateur de la fraction qui exprime la valeur de la première partie de hait : c'est-à-dire que, si on joue chacun le nombre de pistoles exprimé par le produit des pairs, il en appartiendroit sur l'argent de l'autre le nombre exprimé par le produit des impairs.
Ce qui se démontre, mais avec beaucoup de peine, par les combinaisons telles que vous les avez imaginées, et je n'ai pu le démontrer par cette autre voie que je viens de vous dire, mais seulement par celle des combinaisons. Et voici les propositions qui y mènent, qui sont proprement des propositions arithmétiques touchant les combinaisons, dont j'ai d'assez belles propriétés :
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