LXXVI. - 1C

FERMAT A CARCAVl (').

(Bibl. Nat. fr. sog-iJ, XVII, p. 7S-S4.) < MOXSIKCR >,

1. J'ai reçu un très grand contentement de vos lettres du 19 du mois passé, lesquelles m'ont été rendues il y a deux jours, et je me tiens fort obligé à la civilité de M. Pascal, duquel, si l'estime que j'en ai pouvoit être plus grande, elle seroil augmentée par laiil de démonstrations que j'en ai reçues. Je vous prie donc (vous qui m'avez fait l'honneur de me faire connoître une personne si savante) de lui témoigner le respect el l'estime que j'ai pour lui, et que, si je ne puis pas correspondre avec les effets à tant de grâces qu'il lui a plu de me faire, je ne manquerai pas au moins d'y satisfaire avec ma bonne volonté f|ue j'ai voulu vous faire connoître présentement par la réponse que je \ous envoie de ce qu'on m'a proposé. Le temps est court; mais, n'espérant pas de pouvoir la semaine prochaine avoir la commodité de m'appliquer à de semblables spéculations, je suis contraint de vous en dire mon sentiment sur le champ.

2. Il est bien vrai (|u'il me déplaît que d'abord je ne suis pas du sentiuienl de M. Pascal touchant VAnalyse specio.se, de laquelle je fais plus grand cas

(I) Cette lettre a clé publiée pour la première fois par M. Charles Henry (Recherches, p. 197-200) d'après une copie sans date, sans adresse et sans signature. La date de i656 a été attribuée à celte lettre à cause des allusions aux jansénistes el molinistes, et au séjour de Huygens à Paris que le savant hollandais quitta le 3o novembre i655 {OEuvres compléter, I, p. 367). Le texte n'est qu'une traduction passablement incorrecte de l'original qui élait rédigé en latin, comme on peut le conclure d'après les nombreux mots de cette langue que le traducteur, parfois embarrassé, a transcrits dans Finlerligne.

;Ul> (KIVHES DE FERMAT. - COUHESl'ONnVNr.E.

(|iio lui, ot J'ose (lire que les pi-euves (|iie j'en ai sont si grandes que non seiilonienl elles me persuadent, mais elles m'obligent d'en faire une estime hien irrande. J'avoue (|ne le retour en est iiien souvent dilTicile; mais, pane ipie, quand j'ai l'ait exaelemenl l'analvse, je suis aussi sûr de la solution du prolilème comme si je l'eusse démontré par synthèse, je ne me soucie pas quel- (piel'ois d'en chercher la construction lu i)lus aisée, mo ]iersuadant ce qu'en une autre occasion M. Pascal (') dit : im/i cssc par lahori />ririiiiii/ii. Mais, en cela comme en toutes autres choses, je; laisse volontiers (|ue chacun suive son propre sentiinont.

3. ■\o viens au problème des < cercles > tangens dont on désire une plus grande explication. Aussitôt que vous me l'envoyâtes, il me souvint que j'avois songé à cette matière en cherchant le lieu que décriroit le centre d'un cercle (jui Uuivlieroil deux autres cercles donnés, ou un cercle donnr et une ligne donnée, etc., et que j'avois démontré que, quand deux cercles sont égaux <et qu'>ils se doivent toucher avec un autre cercle qui les enferme ou rpii les exclut tous deux, le lieu est la ligne droite qui les divise également et ipi'elle est perpendiculaire à la ligne qui unit les centres des cercles donnés; mais, quand ils sont inégaux et (|ii'il faut ({u'ils se touchent comme ici-dessus, alors le lieu est hyperbole ou, pour mieux dire, il est les sections opposées, les foyers desquelles sont les centres des cercles donnés et le côté transvers égal à la différence des semidiamètres des dits cercles.

Or, dans le cas dans lequel il faudra inclure l'un et exclure l'autre en le louchant, les sections opposées ont les foyers comme auparavant, mais le côté Iransvers est l'aggrégé et non jtas la dilTérence des semidiamètres.

Je passe les autres problèmes (lue j'ai démontrés en celte matière, parce (|u'ils ne sont pas à propos (lour nous; mais je dirai seulement en passant que, (piand les donnés sont un cercle et une ligne droite qui le coupe, le lieu est à deux paraboles qui ont toutes deux pour foyer le centre du cercle donné et passent par les intersections du dit cercle et de la ligne donnée.

Ainsi, en recevant vos lettres, je m'aperçus qu'en laissant une détermination dans le problème de M. Pascal ('), il se feroit local, en la manière icidessous :

Etant donné un cercle et une ligne, trouver un autre cercle qui, touchant

(') Dans les écrits connus de Pascal, on iic Irouve guère (lu'iinc expression analogue : ml illa, qiue pluf a(fcrunt frucUis (jUdin luliorit, verf^enles, mots qui terminent le Do numericii' ordinibus trfictatu.i.

(2) Comp. Lettre LXX, 9.

IGoG.

le donné, soil coupé par la li^ne en sorte que le segment soit capable d'an angle donné.

Soit le cercle ABG {fig. 82) donné, la ligne < EF, le > centre 1); soil lu [jeipendicuhiiro DBH et qu'on fasse l'angle HDG égal à l'angle donné. Menant GO perpendiculaii'e, que ci-après on coupe BH en P dans la raison GD à DO, et qu'on prolonge la ligne DU en Q en sorte que la raison DO à IIO soit la même que celle du quarré GO au quarré GD avec le rectangle HDO.

Qu'après, par le i)oinl O, on lire les angles HQK, HQS égaux à l'angle donné, et que par le [toinl 1', aulour des asymptotes QS, QK, on décrive riiyperbolc IPX.

Je dis qu'elle satisfera à la proposition, c'est-à-dire que le cercle quelconf|ue (pii, ayant son centre sur ladite hyperbole, loucliera le cercle donné, sera aussi cou])é [lar la ligne donnée en sorte ([ue son segment soit capable de l'angle GDO. Mais cela, on ne le doit entendre qu'en cas que l'angle donné soit aigu, puisque, s'il est droit, le lieu est la ligne droite <donnée>, comme il est clair, et que, s'il est obtus, le lieu est aussi une hyperbole, mais il y a alors quelque peu de mutation dans la construction. — Mais il n'est [las nécessaire de dire tous les détails.

Cela étant sujiposé, on peut facilement résoudre le problème par les lieux solides en cas quelconque, c'est à dire en décrivant cette dernière hyperbole et les autres sections opposées dont j'ai parlé ici-dessus, puisque leur intersection donnera toujours le centre du cercle qu'on cherche.

Mais, parce que le problème est plan et craignant le scrupule des géomètres, je l'ai résolu alors par les lieux plans généralement; mais, parce que je m'aperçus que la construction en éloil Ijeaucoup embrouillée, je choisis

31S ŒUVRES dp: FERMAT.— CORRESI'ONDANCE.

au plus facile les donnés et je les ai)pluiuai en nombres; et c'est tout ce ([ue je vous envoyai alors et je ne vous enverrai autre chose, parce que le susdit Monsieur ne \eul pas la soliuioii siinplenieiit analytique, mais qu'il veut aussi une construction gentille et facile, lafpicUe je n'ai pas pour à celle heure le loisir de la chercher,

4. Pour ce (pii est de l'autre < ]irohlème > de cinq lignes données ('), je ne sais pas (|ui lui a dit que je l'estime facile. Je ne crois jias vous avoir écrit une telle chose, puisque je m'aperçus alors (|u'on pouvoit venir difficilement à l'écuialion cl (lu'après qu'on l'auroit trouvée, la construction en seroit l)eaucoup emiirouillée. Vous me ferez la faveur de le dire à M. Pascal el je songerai à cela (|uand j'aurai plus de loisir.

5. Je viens au problème de minimis avec lequel le dit Monsieur dit cpi'il a résolu plusieurs autres problèmes. C'est ce que je crois facilement, parce (|iR' ma inélhode s'étend aux mêmes et m'apprend que le plus souvent en ces problèmes le point du minime est centre du cercle ou de la sphère qui satisfait à ce qu'on propose. Je dis le plus som-ent, parce que je n'ai pas le loisir de les examiner tous et je suis certain qu'en celui-ci, dont W. Pascal ne parle point, bien qu'il soit local ad circithim, le [loinl flu minime n'est pas le centre du cercle :

Elanl donné quelconque nombre de points en une ligne droite, comme A, C, I), E, F, G, \\ {fig- 83), trou'.'cr un autre comme I, duquel menant les lignes lA, IC, II), lE, IF, IG, IR, l'assemblage des quarrés des dites lignes ail au triangle AIB la raison minime de toutes les possibles.

Fis. 83.