CI. - AOUT

FERMAT A GARCAVI.

( Corresp. Huyg., n" G51. )

lŒL.VTIÛN DES NOUVELLES DÉCOUVERTES EN LA SCIENCE DES NOMBRES ( ' ).

... 1. Et pour cp que les méthodes ordinaires, qui sont dans les rJvres, étoicnt insuffisantes à démontrer des propositions si dilTiciies. je trouvai enfin une route tout à fait singulière pour y parvenir.

J'appelai cette manière de démontrer la descenle infinie ou indéfinie, etc.; je ne m'en servis au commencement que pour démontrer les |)roposilions négatives, comme, par exemple :

Qu'il n'y a aucun nombre, moindre de l' unité qu un multiple de 3, (/ui soit composé (Viin qiiarré et du triple d'un autre quarré;

Qu'il II y a aucun triangle rectangle en nombres dont l'aire soit un /lombrt' quarré ('-).

La preuve se fait par 7.-oi.y(uyr^y dç àO'JvaTov en celte manière : S'il y avoit aucun triangle rectangle en nombres entiers qui eût son aire égale à un quarré, il y auroit un autre triangle moindre que celui-là qui auroit la même propriété. S'il y en avoit un second, nidiiidrc (]ue le premier, ([ui eût la même propriété, il y en auroit, par un pareil raisonnement, un troisième, moindre que ce second, qui auroit la même propriété, et enfin un quatrième, un cinquième, etc. il l'infini en descendant. Or est-il qu'étant donné un nombre, il n'y (Ml a point infinis en descendant moindres que celui-lii (j'entends

(i| Publiée pour la première fois par M. Charles Henry {Recherches, p. 2i3-2i6), d'après une copie de la main do Iluygens. Cette pièce avait été envoyée « depuis peu » par Fermât à Carcavi, lorsque celui-ci la communiqua à Huygens, le i4 août ilJjg.

(-) l'oir Observ. XLV sur Diophante.

i3i ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

parler toujours dos nombres entiers). D'où on eonclul qu'il est done impossible qu'il y ait aucun trian!i;le rectangle dont l'aire soit quarrée.

On infère de lii ([u'il n'y en a non plus en fractions dont l'aire soit quarrée; car, s'il y en avoil en fractions, il y en aiiroit en nombres entiers, ce (|ui ne peut pas être, comme il se peut prouver par la descente.

Je n'ajoute |)as la raison d'où j'infère ([ue, s'il y avoit un triangle rectangle de celle nature, il y en auroit un autre de même nature moindre que le premier, parce que le discours en seroit trop long et (|ue c'est là tout le mystère de ma méthode. Je serai bien aise que les l'ascal et les Roberval et tant d'autres savans la cherchent sur mon indication.

2. Je fus longtemps sans pouvoir appliquer ma méthode aux questions affîrmatives, parce que le tour et le biais pour y venir est beaucoup plus malaisé que celui dont je me sers aux négatives. De sorte que, lorsqu'il me fallut démontrer que tout nombre premier, qui surpasse de r unité un multiple de l\, est composé de deux quarrés (' ), je me trouvai en belle peine. Mais enfin une méditation diverses fois réitérée me donna les lumières qui me manquoient, et les questions affîrmatives passèrent par ma méthode, à l'aide de quelques nouveaux principes qu'il V fallut joindre par nécessité. Ce progrès de mon raisonnement en ces questions affîrmatives est tel : si un nombre premier pris à discrétion, qui surpasse de l'unité un multiple de 4» n'est point composé de deux (juarrés, il y aura un nombre premier de même nature, moindre que le donné, et ensuite un troisième encore moindre, etc. en descendant à l'intini jusques à ce que vous arriviez au nombre 5, qui est le moindre de tous ceux de cette nature, lequel il s'ensuivroit n'être pas composé de deux quarrés, ce qu'il est pourtant. D'où on doit inférer, par la déduction à l'impossible, que tous ceux de cette nature sont par conséquent composés de deux quarrés.

3. Il y a infinies questions de celte espèce, mais il y en a quelques

(') ^oi> Observ. VII sur l)i(i|il]anle.