CI. — AOUT 1639. ' i

autres qui demandent des nouveaux principes pour y appliquer la desceiuc, et la recherche en est quelquefois si malaisée qu'on n'y peut venir qu'avec une peine extrême. Telle est la question suivante que Bachet sur Diophante avoue n'avoir jamais pu démontrer, sur le sujet de laquelle M. Descaries fait dans une de ses lettres la même déclaration, jusques là qu'il confesse qu'il la juge si dillicile qu'il ne voil |)oint de voie pour la résoudre (').

Tout nombre esl quarré ou composé de deux, de trois ou de quatre (fuarrés.

Je l'ai entin rangée sous ma méthode et je démontre que, si un nombre donné n'éloit point de cette nature, il y en auroit un moindre qui ne le seroit pas non plus, puis un troisième moindre que le second, etc. ii l'intini; d'où l'on infère que tous les nombres sont de cette nature.

4- Celle que j'avois proposée à M. Frenicle et autres (^) est d'aussi grande ou même plus grande difficulté : Tout nombre non quarré est de telle nature qu'il y a infinis quarrés qui, multipliant ledit nombre, font un quarré moins i. Je la démontre par la descente aj)j)liquée d'une manière toute particulière.

J'avoue que M. Frenicle a donné diverses solutions particulières et M. Wallis aussi, mais la démonstration générale se trouvera par la descente dûment et [)roprement applicjuée : ce que je leur indique, afin qu'ils ajoutent la démonstration et construction générale du théorème et du problème aux solutions singulières qu'ils ont données.

5. J'ai ensuite considéré certaines questions qui, bien que négatives, ne restent pas de recevoir très grande difficulté, la méthode pour y pratiquer la descente étant tout à fait diverse des précédentes, comme il sera aisé d'éprouver. Telles sont les suivantes :

H n'y (i aucun cube divisible en deux cubes (^),

(') f (lir la note de la pai^o 4oj.

(2) Folr Pièces LXXX et LXXXI.

(3) roir Observ. Il sur Diophante.

I'lrmat. — 11. 55

Wi ŒUVRES DE FEUiMAT. — COUllESPONDANCE.

// n'y a qu'un seul quarrè en entiers qui, aus;mentc du binaire, fusse un eube. Lo dit quarro est 2").

Il n'y a que deux quarrés en entiers, lesquels, uu^uienfes de ^^ fassent un cube. Les dits quarrés sont 'i ot 121 (').

Toutes les puissances quarrées de 1, augmentées de l'unité, sont nombres premiers (- ).

l^iOtto (icriiiôro question ost d'une tirs siil)Lile et très ingénieuse reclicrche el, hien (iii'elie soit eonçue affirmativement, elle est négalive. puisque dire (ju'nn nombre est premier, c'est dire ([u'il ne pent être divisé parauenn nomiire.

Je mets en eet endroit la qneslion suivante dont j'ai envoyé la démonstration à M. Frenicle, après qu'il m'a avoué et qu'il a même témoigné dans son Ecrit imprimé (^) qu'il n'a pu la trouver :

// n'y a que les deux nombres i et -j qui. étant moindres de l'unité iju'un double quar ré, fassent un carré de même nature, c'est-à-dire (|ui soit moindre de l'unité qu'un double quarré.

6. Après avoir couru toutes ces questions, la plupart de diverse nature et de dill'érente façon de démontrer, j'ai passé à l'invention des règles générales pour résoudre les équations simples et doubles du Diophante.

On propose, par exemple,

2O + 7967 égaux à un quurré.

J'ai une règle générale pour résoudre cette équation, si elle est |»ossible, ou découvrir son impossibilité, et ainsi en tous les cas et en t(uis nombres tant des quarrés que des unités.

(<) Foir LeUrc LXXXIV, 5. Cf. Observ. XLII sur Dioplianic.

(2) ro/rLeUrc XCVI, 3, 1".

(') Cet Écrit, aujourd'hui inlrouvablc, était intitule Solttlio diiorum prohlcnuiliiiii ne, dédié à Keneiin Digby, et commençait comme suit : h'n tif/i, ï'ir Itluxtrissiine, l.uictia prœliet.... Deux exnmplairos en arrivèrent on Hollande, pour Schooton et IIuyp:ons. le ■fA octobre 1657. En Angleterre, Brouncker eu reçut un seulement en décembre.