IX. — 23 AOUT

reconnu la fermeté de votre raisonnement jointe avec une grande et profonde connoissance de cette matière, j'ai aussi cru que vous ne trouveriez pas mauvaise ma réplique que je ferai en peu de mots, et que peut-être je tirerai à ce coup de vous le consentement que vous n'avez pas voulu m'accorder d'abord. Et je ne pense pas avoir besoin de m'excuser des erreurs qu'il vous a semblé que j'avois commises, à quoi, quand je ne répondrois que par la hâte que j'eus d'écrire à M. de Roberval {' ), lequel j'avois prié de suppléer ce qui ne seroit pas expliqué assez au long, j'aurois peut-être suffisamment satisfait.

2. Mais pourtant je vous déclare que je n'ai jamais cru parler que du levier moindre que le demi-cercle et, si j'ai omis de l'écrire, ma figure, qui n'en représentoit que celui-là, réparoit assez ce manquement, puisque je n'avois pas seulement eu le temps d'écrire la démonstration de ma proposition sur ma dite figure. Que si le levier est plus grand que le demi-cercle, j'ajouterai à la fin de ce discours la proportion qu'il doit garder; il me semble que j'en ai assez dit pour répondre à la plus forte des objections que vous faites contre mon second levier.

3. L'autre qui combat mon second principe a été prévue par moi, et je vous avouerai que, quoique ce second principe soit manifestement faux et qu'il choque mon sentiment sur le fait du premier levier, je l'avois pourtant industrieusement et à dessein mis dans ma Lettre, afin de vous faire accorder qu'un grave pèse moins, plus il approche du centre de la Terre, ou, en me niant cette vérité, vous obliger d'accorder celle de mon second levier. M. de Carcavi, à qui je l'avois écrit quelque temps auparavant que de recevoir vos Lettres, vous le témoignera sans doute, et j'en ai tiré du moins le profit que vous m'avez accordé qu'un grave pèse moins, plus il approche du centre, quoiqu'il soit malaisé do déterminer la proportion de la différence de ces poids.

4. Je me contente d'avoir dit ce peu de mots par avance et viens à la démonstration de mon second levier, après vous avoir assuré que

(') Fuir Lettre VH.

52 ŒUVRES i)K FEIUIAT. - CORRESPONDANCE.

jamais lunnmr du iiiondo ne se poricra avcr plus do l)()iiiit' foi cl d'iiigoiuiilc (|U(' moi ii avouer les vci'ilcs (|U(' j'aurai rccouuiu's, cl (|uc je crois lua proposition tcllcuiciil vraie (|iie, l'ayaiil souvent considérée de ilivers biais et à diverses reprises, je n'ai jamais pu en douler. Voici les vrais |)rincipcs de ma démonsh'alion :

AxioMA I . — ^'/ i>rcn'e quiesccns ah aliijuo piinclo suspendatur. gravitahil super li/icam rcctam puncliim suspcnsionis el centrum terrœ conjungcntem. — Patel (ixiotnalis rcrilas (pua aliter grai'e non (juiescerel.

AxioMA II. — In recte circulari. etijus dimiflium piuicturn suspensionts. si ex alraqiie parte in piinctis œqualiiiin scetionum gravia œqiialia collocentar, corpus e.x omnibus illis gravihus compositum et a medio illo puncto siispensum quiescet .

AxioMA 111. — /// rcrie cirritlciri seniicirculo ininori. cujus ceniruni est eentruni terra' {hoc cnitn in /lostro recte semper intelligendum). si puncluiii suspcnsionis i/ia'qualiter vectcm dividat et ex ut raque parte in punclis a'qualiu/n scetionum gravia œqualia collocentur, non inanebit corpus ex omnibus illis gravihus compositum, sed inclinabitur rectis ex parle dicijojis portionis. — Hoc palet etiam ex veslris positio/iibus : quum enun lotus rectis sit semicirculo /ninor. si/ius rninoris portionis erif mmor si/tu rnajons portionis. ideoipie non /leg/ihitis i/iclinationem fieri ex parte maptris portio/iis.

[fis suppositis. exponatur figura conti/iens recte/n DEG ( tig. 3o ) et per-

fic.iantur reliqua juxla pnvparalionem Archimcdeam. Grave m D, disposilum per partes œquales in porliones BG, GD, DE, EF, grai'itat super rcctam DN : nam, suspensum a puncto D, per secundum axioma quwscit : f'rgo. per primum. gravitât super 1)N. Igitur. sive totum sit in D, sivc dis-

positum per partes œquales in portiones BC, CD, DE, EF, semper super camclem reclam DN gravitât. Sirniliter grave in G, sive toliim sit in G, sive per parles œquales FG, GH disponatur. semper super eamdem rectam GN gravilabil. Quum autem gravia per partes œquales BC, CD, DE, EF, FG, GH disposita sint œqualia, gravit ahit aggregatuni lotius gravis super rectam EN : ergo palet conclusio aut, per deduclinnem ad cdisurdiim, indc facillime derivatur ope terlii axiomalis.

Eadem certe eral Archimedis ( ' ) ratiocinatio : nam reclœ BD ( iig. S i ) centrum gravitatis, verbi gratia, in (] constituil, ut probel gravia œqualia

Fig. 3i.

m punctis B, D super rectam CN gravitare, quod ilte supponit. quu/n in lihra tantum DEF hoc verum sit, quœ ad rectam EN est peTpendicularis. in reliquis falsum, quia ad angulos inœquales a redis à cenlro terrœ sceau tur. In nostro autem vecte hœc difficultas non occurrit. quum semper ri in quocumque puncto reclœ a centra terrœ eum normaliter secenl.

Sil libra DCB (fig. 32 ), centrum terrœ A, centrum librœ C; complealur circulus centra (\, inlervallo CB descriptus cl DEA, BA, CFA jungantur. Jungalur et CE; ponantur in punctis B c/ D pondéra œqualia cl sil aitgulus ACD major angulo ACB : .4/V; libram a puncto C suspensam ad parles B inclinari, idquc per supposita ab Arc/iimedc.

Pondus a puncto D al punctum lî transferalur; ex Arc/timedc. idem est ac si pondus esset in puncto D, quia ponitur in recta punctum \) cl centrum terrœ conjungentc : si igitur intelligalur recta CE pondus in E retinerc. manebunt, ex Archimede, brachia CE et CB, quum ponantur maiwrc CB cl CD. Igitur anguli ECF, FCB crunl œquales : Iriangulum enim œqm-

(' » Cp. ArciiimÊde. Dr planorwn ivquil'diriit:, I. 6.

rriur, i/i ctijtis cxl remis œqtialia pondéra collocanlitr. nio\rltir semper (fonce perpendicularis liorizonti. Iioc est recta rertieem et cenlritrn terra' conjungens. angulum ad rertieem hisecet, quod caperientia testaliir. Angidiis aiitem \\Œ duplus est anguli ad I) : ergo angiilus FCB angulo I)

Fijr. 33.

est (cr/iiafis. Parallelœ igiltir eri/nt (]X et DA, quod est absurdam : non ergo quiescit lihra. sed ad partes B inclinât nr. quia angulus B(]F major est angulo ECF, /// patet.

Voilà, en [)cii de mois, ma l'épliquo pour le second Icvicf, hKiiicllc i't'iisse plus ctcndiie si le temps me le permettoit.

5. Que si le levier est plus grand que le demi-cercle comme (^AB [Jig- 33) duquel le point do suspension est A, les extrémités ("., B,

alors le levier ne soutiendra plus, mais sera pressé en haut par ces deux poids, de sorte (ju'il faut prendre la proportion réciproque des

deux angles CND, DNB, après avoir prolongé la ligne AN. La démonstration en est aussi aisée que celle du premier cas.

6. Pour le premier levier, soit le centre de la terre B (fig. 34), les poids égaux A et C, et la ligne BC plus grande que BA. Si vous m'accordez que ce poids en C pèse plus qu'en A (quoique vous estimiez

Fig. 34.

qu'il soit malaisé d'en déterminer la proportion), mes alFaires sont faites : car il descendra donc, et la même raison ayant toujours lieu jusques à ce que la ligne (M soit égale à BA, il ne s'arrêtera pas plus t(M.

Et que cela se fasse par attraction ou autrement, la chose est indifïérente. Toutefois je vous puis assurer que je puis prouver cette même proposition par des expériences que vous ne sauriez contester et que je vous onvoierai au long, dès que la commodité me le permettra.

7- Cependant voici une de mes propositions géométriques, puis([u"il semble que vous ayez désiré d'en voir :

Su parabole AB (tig. 35), cuj'iis verlex A, et circa reclam DA stabilem fleura DAB circurnverlatur, describeliir ronoides parabolicum Archiine-

Fig. 35.

de uni, citjm proporlio ad cotium ejasdem basis el verticis eril sesq niait era. Quod si circa stabilem Défigura DAB circumvertatur, fiet novum conoides cuj us proport io ad conurn ejnsdem basis et verticis quœrebatur.

Eam nos esse ut 8 ad ,) demonslravimus, nec res vacabat difficultate. Imo et centrum gravitatis cjusdem conoidis invenimus.

.jti (KUVHES DE FERMAT.^ (.OIUÎESPONDANCE.

8. J'ai Iroiivc l)tM»cou|) d'aiilrcs propositions gt''oiii(''lr'i(|iirs, coiiiiiic la ri>slitulioii de toiiti's les pro|)osilioiis de loris plaiiis ( ' ) cl aulros; mais ce (Hii' j'osliinc plus (iiic (oui le rcsic csl iiiic mélliodi" pour il(''l(M'inint'r loiilcs sortes de problèinos plans ou solidos, |)ar le movcn i\i' la(|ii(dl(' ji' Iroiivc riiivcnlioii (^- ) Diaximœ et mi/nnuv in oin/iibits iimnino proi^/c/nd/ibiis, et ce, par une é(|uation aussi simple et aisée {|ne eelles de] l'Analyse ordinaire.

9. Il v a inlinies (|uesti()ns (|ue je n'aurois jamais pu résoiulre sans cela, eoninie les deux suivantes, que vous |)ouvez essayer si vous voulez ('■^) :

Ihtia' spluvra' inscriberc co/zi/ni onininiti iiiscrihcndoniin ambitu rna.iiiniiin.

hnlœ s/)/i(Cia' inscriberc cvlindriini onu/ium inscribcndorum nmbiin maximum.

J'entends par ambitiirn, non senlemcnt superficies conicas et cylin- (Iriccis. mais le eireuit entier composé, au cône, du eerele de la base et de la supertieie eouique, et au eylindre. des deux eereles des bases et de la supertieie cylindrique.

Il semble que ces deux questions sont nécessaires pour une plus grande connoissauce des fiifures isopérimî'tres ( M-

10. Cette métliode ne sert pas seulenuMil à ces questions, mais à beaucoup d'autres et pour les nombres et pour les quantités.

\ dus m'obligerez inlinimeut de mv l'aire part des productions de voti'e esprit et de me croire etc.

. I ' j Foir LeUrcs I, 10 cl VI. 10. (2) roi>TomeI, p. i33.

(') Foir LcUres I, 12, et VI. 9.

(*) Sujet dont .s'occupait lioljcrvat. Foir Lettre .\t\'. 11.

FEMIAT A MERSENNE.

MARDI a SEPTEMBRE l636.

Mo> Révkrend Pkhe,

1- L;i IcKre dont vous me parlez dans votre dernière s'est sans doute égarée, car celle que je viens de recevoir est la seule qui m'est venue depuis cin([ ou six semaiiu'S de votre pari.

2. Sur le sujet de laquelle (^') je vous dirai (jue, (|uand nous parlons d'un nombre composé de trois quarrés seulement, nous entendons un nombre qui n'est ni ((uarré, ni composé de deux cjuarrés; et c'est ainsi (|U(' Diopliante et tous ses interprètes l'enlendenl, lorscju'ils disent (|u"un nombre, composé de trois quarrés seulement en nombres entiers, ne peut jamais être divisé en deux quarrés, non pas même en fractions. Autrement et au sens que vous semblez donner à votre proposition, il n'y auroit que le seul nombre de 3 (|ui (Vil composé de trois (juarrés seulement en nombres entiers; car :

Premièrement, tout nombre est composé d'autant de (juarrés enti((rs (|u'il a d'unités;

Secondement, vos nombres de 1 1 et i4 se IrouvenI composés cliacun lie cinq quarrés; le premier de l\, 4, i, i, i ; le second de 4, 'i, \, i, i.

Que si vous entendez que le nombre ((ue vous demandez soit composé de (rois quarrés seulement et non pas de qua(re, en ce cas la question (ient plus du hasard que d'une conduite assurée et, si vous m'en envoyez la consd'uction, peu(-é(re vous le ferai-je avouer.

(M l'oir Lettre VI, 7. — D';ipi-cs Descartes (Lettres, éd. C(erselier, III, CiO), l'aiileiir (le la question, Sainte-Croix, demandait que les deux nombres à trouver et leur somme fussent composés de trois carrés à l'exclusion de (|aatro. Il n'y aurait dès lors, suivant IJescartes, que trois solutions : i, 3, G: 3, ii, i4; 3, m, ■j.\.

Kersiat. — U. 8

o8 ŒuvuKs m-: rKUMvr. - (,oiu\esponi)ANCE.

[)o sorte (jiii' j'avois satisfait à volro proitosiTHui au sens de Diopliaiilo, qui semble être le seul admissihle en cède sorte de queslions.

Or, (|u"nn nombre, composé de trois (juarrés seulement en nombres entiers, ne puisse jamais être divisé (mi deux (|uarrés, non pas même en fractions, personne ne l'a jamais encore démontré et c'est à <]uoi je travaille et crois que j'en viendrai à bout. Cotte conuoissance est de grandissime usage et il semble (|ue nous n'avons pas assez de principes pour en venir ii bout; M. de Bcaugrand est en cela de mon avis. Si je puis étendre en ce point les bornes de l'Arithmétique, vous ne sauriez croire les propositions merveilleuses que nous en tirerons.

3. Pour la Proposition géoslatiquc, elle est toute fondée sur ce principe seul, que deux graves égaux, joints par une ligne ferme et laissés en liberté, se joindront au centre de la terre par le point qui divise également la ligne qui les unit, c'est-à-dire que ce point de division s'unira au centre de la terre. Messieurs Pascal et de Roberval ('), après avoir reconnu que tout mon raisonnement est fondé là-dessus et, qu'accordant ce principe, ma proposition est sans difficulté, m'ont nié ce principe, que je prenois pour un axiome, le plus clair et le |)lus évident (ju'on i)eut demander; obligez-moi de me dire si vous êtes de leur sentiment, .le l'ai pourtant démontré depuis peu par de nouveaux principes, tirés dos expériences, qu'on ne me sauroit contester, et je le leur envolerai au plus tôt.

Je suis etc.

(') yoir Lettre Mil, 1 el suiv.