XI. -- SKPTKMBHE 1G3G

PERIMAT A ROBERYAL (').

MAlîDI l6 SEPTEMBRE lG.36.

{fn. p. i3.')-i3G. )

Monsieur,

1. Je me trouvai ces jours passés à la campagne lorsque je répondis à voire écrit, que j'avois pourtant laissé en cette ville. Depuis mon retour, je l'ai considéré plus exactement et vous envoie la réponse plus précise à tous ses points concernant le premier levier. Si vous ne goûtez pas mes raisons sur le second, vous m'obligerez beaucoup de m'envoyer la démonstration de votre proposition suivant l'opinion où vous êtes, que les graves gardent la proportion -réciproque des perpendiculaires tirées du centre du levier sur les pendants, et de laquelle je douterai toujours jusques à ce que je l'aurai vue. Je vous puis pourtant assurer que je ne saurois démordre encore de la mienne et (|iril me semble que vous ne sauriez démontrer la votre, au moins par les principes que nous connoissons.

2. Le principe que je vous ai demandé pour l'établissement de nu's propositions géostatiques est que, si deux poids égaux sont joints par une ligne droite ferme et de soi sans poids et, qu'étant ainsi disposés, ils puissent descendre librement, ils ne reposeront jamais jusques ii ce que le milieu de la liLjne s'unisse au centre commun des choses pesantes. Ce principe, qui vous a semblé plausible d'abord, a enfin choqué votre opinion sur ce principalement que nous ignorons la cause radicale qui fait que les corps graves descendent, sur quoi vous dites qu'il y a trois opinions différentes et que, de toutes les trois, les conséquences semblent diflerentes.

(' ) Suite à la LeUre IX et seconde réponse à la Lettre VIII. Dans les l'aria, l'article 7 suit immédiatement le n" I. — La réplique de Robcrval est perdue.

(iO iKl \I{KS DE l'KllMAT. - COHllESPONDANCE.

3. Ji' ne rt'pi'lc point vos mois ni vos raisons; je me conlcnlc d'y ic|ion(ii'(' cl /'/•////() en la |)r('iniJ'r(' opinion.

Kn voire iigiirc {J'f^- ii>). vous dilcs (|u'il vous scinhic que, si le point n on I"] convient avec le ccnti'c coinnnin «les elioses |)esant(>s.

Kiff. iS.

eonil)ien (|ue l'un des poids en soit plus proche (|ue l'autre, ils conlrepi'seront encore et demeureront en équilibre. Puis(|ue, dites-vous (pour me servi i' de vos propi'cs termes), ces deux poids sont éi^aux et ont tous deux même inclination de s'unir au centre commun des choses pesantes, l'un n'a aucun avantage sur l'autre pour le dé|dacer de son lien .

Or, si ce raisonnement est bon, voyez-le dans la figure suivante (/?!,'". 'Mi), dans laquelle j'emploierai les mêmes mots.

Fig. 36.

Soit l(> centr(> de la terre 0, un point dans sa surface ou ailleurs (]; soit jointe la ligne (^l), et soit au point (' attaché le levier B(]A, duquel les bras BC, (-A soient égaux el les poids B et A aussi égaux, l'angle B(]A ferme. S'il n'y avoit point le |)oids en B, la ligne (lA s'uniroit ii la ligne CD, c'est-à-dire (|ne le poids A s'approi-heroit du centre D autant qu'il pourroil; et tout de même de la ligne B(<.

Soit fait l'angle BCD moindre qne D(LV; par le précédent raisonnement, le levier s'arrêtera (ce qui est contre l'expérience), puiscjue les deux poids A et B sont égaux et ont tous deux même inclination de s'unir au centre D sivc l\ la ligne (^1), et l'un n'a aucun avantage sur

l'autre pour le déplacer de sou lieu. Or, de même qu'en ce cas l'expérieuce nous fait voir que ces deux poids approcheront également du centre D et de la ligne CD, il ne faut pas douter qu'au premier cas ils n'approchent également du centre de la terre, et la raison de toutes ces deux propositions est, qu'ayant même inclination au centre (>t ne pouvant tous deux y descendre, à cause qu'ils s'entr'empêchent, ils y approchent du moins également : autrement la force de celui qui y approcheroit davantage seroit plus grande.

4. L'exemple du levier horizontal (fig- 37) ne fait rien à la (juestion : car, pour marquer que les poids B et A n'ont pas leur inclina-

FiK. 3;.

(ion au point (!, il ne faut qu'oler la ligne (^D, sur laquelle le levier s'appuie, et le levier ne restera pas de demeurer, s'il est pressé par les poids A et B horizontalement, de sorte que le point C n'est non plus considérable que tel autre de la ligne BA que vous j)rendrez. Et, cela étant, l'exemple est inutile, parce que la principale raison de mon principe déjtend de l'inclination des graves au centre de la terr(\

5. Ce que vous ajoutez, do deux poids qui seroient inégaux, joinis comme dessus à une ligne droite fernu> et de soi sans poids, n'esl non plus recevahie : car, vous accordant que, lorsque vous menez un plan perpendiculaire à la ligne qui joint les deux poids, comme vous faites en votre figure ('), il est certain qu'en ce cas il y a de chaque côté du centre une grandeur égale; il arrive pourtant cent cas auxquels, si vous coupez les deux poids par un autre plan passant par le centre, les

(1) T'nir fîg. 0.0, Lettre VIII, 6.

«2 GU'VUES DE FEIIMAT. - COR lUiSI'ONDANCK.

grandours qui soront do chaque colé soroiit inégales, e( ainsi nn même corps en même (emps arrèlera e( n'airèlei'a jtas.

Kl n'imjxirle de dire que ce plan doil èlrc toujours perpendiculaire il la ligne qui joinl les deux graves, ("-ar vous savez qu'anlonr du cenire lous endraits sont indillV-rens et o:nnia intelliguntur stirstiin. ouinia ileorsum.

Il i'aut donc nécessairement prendre le repos des poids, non pas de cette faijon, mais de la proportion réciproque suivant mon sentiment.

Voilà, en peu de mots, la réponse ii votre première opinion, (]ue j'eusse pu étendre davantage et tirer mémo la démonstration de mon principe de l'expérience (|ue je vous ai donnée, comme il vous sera aisé de voir.

6- Si la seconde opinion est vraie, mon principe est infaillible. Car en ce cas vous dites que l(> cor|)s pi'sera d'autant moins qu'il sera proche du centre, mais cette diminution ne sera pas on la raison des éloignemens. Or, puisqu'un corps pèse moins on ce cas à mesure qu'il est plus proche du centre, donc il sera toujours pressé par le plus éloigné, jusques ii ce qu'ils soient également éloignés du centre.

Kn la troisième opinion les mêmes raisons sont bonnes.

Je serai bien aise que M. Pascal voie ma Lettre, si vous l'agréez.

7. Permettez-moi de changer <le matière et de vous demander la démonstration de cette proposition (|ue j'avoue franchement que je n'ai encore su trouver, quoique je sois assuré qu'elle est vraie (') :

Summa quadralorum a duabus redis rationalibus longiluditie commenta) L'A proposition que Fermai énonce dans le langage enclidien peut s'exprimer comme suil :

Si « cl i sont rationnels et que l'on ait

.r cl x^ seront irrationnels.

L'apotome est proprement la différence de deux grandeurs incommensurables entre elles, mais dont les carrés sont rationnels (Euclide, X. yS); .r = /( « -t- 6 )- -i- «-' + /;' („ | i) sera dès lors une apotome, si le radical est incommensurable avec a + b. — J'oir plus loin I-eUre XIII. 8.

surabilibiis, si ad duplurn summœ laterwn applieelur excedens figura ijuadralâ. lalitiulo excessâs erit apolome. \

Vous no sauriez croire combien la science du dixième Livre à'\Lnclide est défectueuse : je veux dire que cette connoissance n'a pas encore fait de grands progrès et qu'elle est pourtant de grandissime usage. J'y ai découvert beaucoup de nouvelles lumières, mais encore la moindre chose m'arrête, comme le théorème que je viens de vous écrire, qui semble d'abord plus aisé ii démontrer qu'il n'est pas.

J'attends de vos nouvelles et suis etc.

FERMAT A MERSENNE

< SEPTEMBRE OU octobue 16S6. >

Revekode Patf.p,,

1. Quamvis id agam ut pro OEdipo Davum (^') resliluam. cl libentissime profitear quiPstionem Domini de Sainte-Croix ad nicam notitiam (-) non pervenisse, liceat lamen numéros ab ipso exliibi-

(' ) .Vlkision iiu vers igî do Y Indria de Tércnoe :

Non licrclc inl^îlleïo. — Non/ lioiii. — Davos sum, non OEiJipus.

(2) Il osl malaisé de détcniiiner si la qnoslioM duiil il s'agit ici est bien celle donl il est parle Lettres VI, 7, et X, 2, ainsi que plus loin. XII, 5, ou une antre dos cinq questions iiuméri(iues proposées [lar S'" tlroix à Descartes en avril iGiS, à savoir :

I. Trouver un trigone qui. pliiv un trigo/ic tctmgone, fasse un tétragone, et de rechej, et que de la somme des côtes des tétrogones re'sulte le premier des trigones et de In jnuliipUcation d'elle par son milieu le second. J'ai donne' i5 et 120. J'attends que quelqu'un y satisfasse par d'autres nombres ou qu'il montre que la chose est impossible.

II. Trouver un trireciangle dont chacun des côtes soit l'aire d'un trirectangle. J'ai donné 'tAO, yio, y5o. J'attends etc.

III. Trouver un bartong nu tc'tragone plus sa pleure et tel que l'aggrégai du dit te'lrn-

tiV ŒUVHES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

tos (^ ' ) soliilione prohloiualis ahs te proposili componsaïc, cl qiia'stioiios aliqiiol àu.oi[3ata; siihjicoro, quaruiu enodationem ad nos sorius

goiic cl de son dotthlr Icirngone faise un Ictriigonc (lanl in pleure soit le barlong ou tétragonc plu.t sa pleure. J'ai donne d. J'attends etc.