XIII. - 22 SEPTEMBRE 163G
13. De triangulis rectangulis (') propositio non satis pcrsiiiciu', ut
opinor, in tua epistola est concepta : solvetur a me tbrtassp, si clarius
proposueris.
Addictissimus tibi.
Fermât.
FEMIAT A ROBERVAL.
LUNDI 22 SËPTEMBRK 1636.
(l'a., p. iVi-iî-.)
MoXSIEfR,
1. Je surseoirai avec votre permission à vous écrire sur le sujet des propositions de Méchanique, jusques à ce que vous m'aurez Fait la faveur de m'envoyer la démonstration des vôtres, ce que j'attends au plus tôt sur la promesse que vous m'en faites (-).
2. Sur le sujet de la méthode (') de rnaximis et minirnis. vous savez (|nc, piiiscjue vous avez vu celle que M. Despagnet vous a donnée, vous avez vu la mienne que je lui baillai, il y a environ sept ans, étant à Bordeaux.
Et en ce temps-là je me ressouviens que M. Philon ayant reçu une de vos lettres, dans laquelle vous lui proposiez de troiaer le plus grand cône de tous ceux qui auront la superficie coniaue égale à un cercle donne, il me l'envoya et j'en donnai la solution à M. Prades pour vous la rendre. Si vous rappelez votre mémoire, vous vous en souviendi'ez peut-être, et que vous proposiez celte (|nes(ion comme diUieile et ne
(' ) .\iicunc autre allusion, dans la Correspondance ijul nous reste de Fermât, n'est faite à cette proposition. Peut-être s'agit-il de la (|ueslion I de Sainte-Croix à Descartes {voir plus haut pages 63-6;, note), dont l'énonce énigniati(pio prêtait facilement à confusion.
(2) Dans une réponse perdue à la lettre XI. Hoberval annonçait sa lettre suivante, XIV.
(■■i) f'oir Lettre IX, 8.
l'ayant pas oncore (roiivéo. Si je rcncond-c parmi mos papiers votre lettre, que je gardai pour lors, j{> vous l'envoierai.
3- Si iM. Despagnet ne vous a proposé ma méthode (') que comme je la lui baillai pour lors, vous n'avez pas vu ses plus beaux usages; car je la fais servir, en diversifiant un peu :
1° Pour l'iiivenlion des propositions pareilles à celles du conoide (|iie je vous envoyai par ma dernière (") :
2" Pour l'invention des tangentes des lignes courbes, sur lequel sujet je vous propose ce problème : Ad datiim punctum in conchoide Mromedis itwenire tangentern (') ;
3" Pour l'invention des centres de gravité de toute sorte de figures, aux figures même différentes des ordinaires, comme en mon conoide et autres infinies, de quoi je ferai voir des exemples quand vous voudrez (*).
4° Aux problèmes numériques auxquels il est question de parties aliquotes {^) et qui sont tous très difficiles.
4- C'est par ce moyen que je trouvai G72 duquel les parties sont doubles aussi bien que celles de 120 le sont de 120.
C'est aussi par là que j'ai trouvé des nombres infinis qui font la même chose que 220 et 284, c'est-à-dire que les parties du premier égalent le second et celles du second le premier. De quoi si vous voulez voir un exemple pour tàter la question, ces deux y satisfont :
17296 et i84i6.
.le m'assure que vous m'avouerez que cette question et celles de sa sorte sont très malaisées; j'en envoyai il y a quelque temps la solution à M. de Beaugrand.
M "1 Fermât paraît ici ontondrc, par sa inôtlindc, le procédé ilo siihsliliicr .4 -t- E à J dans une relation en J.
(*) Foir LeUrc IX, 7, et plus loin XIII. 6.
(') Foir Tome 1, p. i6i.
(*) Foir Tome 1, p. i36, note 3.
(5 ) FoIr Lettre IV. 3. et Pièces IVa. IVis.
J'ai aussi trouvé des nombres en proportion donnée ou qui surpassent d'un nombre donné leurs parties aliquotes; et plusieurs autres.
5. Voilà quatre sortes de propositions que ma méthode embrasse et que peut-être vous n'avez pas sues.
Sur le sujet du i", j'ai quarré infinies figures comprises de lignes courbes ('); comme, par exemple, si vous imaginez une figure comme la parabole, en telle sorte que les cubes des appliquées soient en proportion des lignes qu'elles coupent du diamètre. Cette figure approchera de la parabole et ne diffère qu'en ce qu'au lieu qu'en la parabole on prend la proportion des quarrés, je prends en celle-ci celle des cubes; et c'est pour cela que M. de Beaugrand, à qui j'en fis la proposition, l'appelle /;ara5o/e solide.
Or j'ai démontré que cette figure est au triangle de même base et hauteur en proportion sesquialtère. Vous trouverez, en la sondant, qu'il m'a fallu suivre une autre voie que celle d'Archimède en la quadrature de la parabole et que je n'y fusse jamais venu par là.
6. Puisque vous avez trouvé ma proposition du conoïde excellente, la voici plus générale {fig. 38) :
• Ki.r. 38.
Si circa rectam DA parabole, cujus t^ertex B et axis BF et applicata AF, circumducatur, fiet conoides novœ speciei, quo secto bifariwn, piano ad axem recto, dirnidium ipsius ad conuni ejusdem basis et altitudinis est Ht 8 ad 5 .
(') P^oir Tome I, pages ?.5J à 266.
Fermât. — II.
n ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE.
5/ rcrô piano secetiir ad axem recto inœqiialiter, piiUi pcr pitncluni M, ses^mcn/itm conoidis ABCE ad coriiim rjiisdem basis et allitudinis est
ul qaiiitii|iliiiii iniailrali El) iiiià ciiin rcctaiigulo AED bis (M loctaiiiiiilo siil) DK in AE
ail quadrati El) (|iiiiiiiipliiiii,
et ricissim segmentum conoidis DCE est ad conum ejusdem basis et altitu-
dinis
m qiiiiiliiplum (|tia(liali AE uiià ciim loclanguio AED bis et rectangulo siib DF in DE
ad qiiadrali AE qiiiiiliipbiin.
Pour la (lémoiistratioii, outre les aides {\w j'ai tirées de ma méthode, je me suis servi des cylindres inscrits et circonscrits.
7- J'avois omis le principal usage de ma méthode qui est pour l'invention des lieux plans et solides; elle m'a servi particulièrement à trouver ce lieu plan que j'avois auparavant trouvé si difficile (') :
5« a quotcumque dalis punctis ad punctum iiniim injlectantur rectœ et sint species quœ ab omnibus fiunt dato spatio œquales, punctum continget positionc datam circumferentiam.
Tout ce que je viens île vous dire ne sont qu'exemples, car je vous puis assurer que, sur chacun des points précédents, j'ai trouvé un très grand nombre de très belles propositions. Je vous envolerai la démonstration de celles que vous voudrez : permettez-moi néanmoins de vous prier de les essayer plutôt et di' m'en donner votre jugement.
8. Au resie, depuis ht dernière Lettre que je vous écrivis, j'ai trouvé la démonstration de la proposition que je vous faisois (^). Elle m'a donné grandissime peine et ne se présente pas d'abord.
Je vous conjure de me faire part de ([uelqu'unc de vos pensées et de me croire, etc.
P) Voir Tome I, page 3; ( Lieux plans d'Apollonius, II, S). '2) Foir Lettre XI, 7.
