et uniformi in infinifum mctbodo
9. Sed nonduni constat qua ratione inveniatur sunima numeroruni :
ncquc quomodo sumnia quadratorum ab ipsis inveniatur : quod tanien ad secundam et tortiam operationem perticiendum est neeessariuni.
Priniilni illud praestitit Hachetus (') in libello De ntimcris maltangulis : socundum ita expedictur.
Suniatur summa tôt quadratorum ab unitate in progressione naturali, quot sunt unitates in majore progressionis numéro differentia proi(ressionis unitate deminuta aucto.
Hoc autem est facib' et ab Archimede (-) in libro De Spiralihus traditum.
Ab ea summa :
1° Detrahe summam totidem quadratorum in progressione naturali
C) Comiiieritnirn do Bachot sur les propositions IV ot V Dioplunill -l/eraridrii/i tic inu/laiigulit inotieris.
(*) Archimùile, De llneis sptridiliux, pru|). 10, donno elTcctivemcnt la sonmiation
ab unitate incipiente, quot sunt imitâtes in differcntia progressionis unitate deminuta, eamque summam ductam in numerumterminorum.
2" Detrahe duplum summse totidem numerorum ab unitate, quot sunt unitates in dilTerentia progressionis unitate deminuta, iiliuhjuc ductum in summam numerorum progressionis data?.
His ablatis, reliquum, per difi'orentiam progressionis divisum, dabit summam quadratorum ab omnibus.
Ex his duobus casibus reliqui omnes nullo aut minimo negotio elicientur juxta prsecepta.
10. Sed hic hœrere nohiimus, verùm problema totius fortassc Arithmetices pulcherrimum construximus, quo non solum in quavis progressione summam quadratorum et cuborum venamur, sed omnium omnino potestatum in infinilum melhodo generalissima, quadratoquadratorum, quadratocuborum, cubocuborum, etc.
11. Ut autem innotescat Dom°. de Sainte-Croix sphingem me aut OEdipum non exspectare, en probh^ma in quadratoquadratorum |ir(igressu, quod ita potest theorematice enuntiari :
Exponantur quotlibet numcri in progressione nalurali ah unitate; si a quadrupla ultimi, binario aurlo <^ et >• in quadratum trianguU numerorum dueto, demas summam quadratorum a singulis. fiel quintuplum quadratoquadratorum a singulis.
Exemplum : Expositis numeris
quadruplum ultimi binario auctum est i8, quod duci débet in loo, quadratum trianguli numerorum : fit
iSoo.
Ab eo producto deme summam quadratorum a singulis, qua" est
Superest 1770, cujus quinta pars, 35^, a'quatur quadratoqiiadratis a singulis.
70 ŒUVRES DK FEUMAT. - CORRESPONnANCE.
In (|u;ilil»('l progrossioiii' simililcr prohlcma (•oiistriiciiais iinitaiuld construclioniMii itrivcodciitciii.
Molhoduin i^cncialcni iii (|iiil)usli!)('l in iiitiniltiin potcslaliims tradoimis, si visum l'ucrit aut (il)i aiit Doiu". do Saiiilc-Croix.
12. Iiilciiiii adiliiiuis piopositioiUMU pulchorrimani a luiliis invciitain. (|iiH' iiohis liiciMii dcdil ad luijiismodi pro|)()si(ion('s iiivcnicii-
das('):
/// progressionc nalitrali ultimiis iiiuncnis in proxime majorern facit dupliim triangiili col/atcni/fs, in triangulum numeri proxime majoris facit triphun pyramidis colla Icralis, in pvramidcm numeri proxime majoris facit qitadriiplum tnangiilolrian-
guli collateralis,, et eâ in injiniturn uniformi methodo.
(') t'oir Tome I, V Oh.feriYition XLV'I fur Diopliaiite. — Il est très rciiuirqualilc que cotlc proposition capitale, qui donne, de fait, la composition des coefficients du binôme, après avoir été ainsi communiquée en i636 à Mersenne, à Sainte-Croix et à Roberval (ci-fiprvs Lettre XV, 3), soit restée assez ignorée pour que dix-huit ans après, Pascal, en la retrouvant sous une autre forme, n'ait eu aucun soupçon do la très grande antériorité de la découverte de Format.
On lit dans le Traité des- orilrei itiiniériqiie.s ( CKuvres de Biaise Pascal, cdiliou de 177g, l. V, pp. 65-66), après la proposition XI :
« Les manières de tourner une même chose sont infinies : en voici un illustre exemple » et bien glorieux |)our moi. Cette même proposition que je viens de rouler en ])lusicurs 1) sortes, est tomltée dans la pensée do notre célèbre conseiller de Toulouse, M. de Fer- " mat: et, ce qui est admirable, sans qu'il m'en eût donné la moindre lumière, ni moi à I' lui, il écrivoit dans sa province ce que j'invcntois à Paris, heure pour heure, comme .< nos lettres écrites et reçues en même temps le témoignent. Heureux d'avoir concouru » en cette occasion, comme j'ai fait encore en d'autres d'une manière tout à fail étrange, « avec un liommo si grand et si admirable, et qui, dans toutes les recliorchcs de la plus » sublime géométrie, est dans le |)lus haut degré d'excellence, (rommeses ouvrages, que » nos longues prières ont enfin obtenus de lui, le feront bientôt voir à tous les géomètres » de l'Europe, qui les attendent! La manière dont il a pris cette même proposition est i> telle : n
tt En la progression nntiirulle {[là coniincnre par l'imite, un nomlirc quelcoiupie (tant » mend dans le prochainemrnL plus grand produit le doid>lc de son triangle. »
i> l.e même nombre, étant mené dii/is le triangle du proeliaincinent plus grand, pro- 0 duit le triple de sapj rainide. u
» Le même nond>re, mené ilnns la pyramide du proehaineineni plus grand, produit le » quadruple de son Iriangiilotriaiigulaire. »
'< Et ainsi à l'infini, par une méthode générale et iinijornie. »
I) Voilà coiimient on peut \arier les énonc'ialions. »
