XXX. — 1" JUIN

tigurc (' ), qui est une espèce d'ovale, il sera bon que vous lui envoyez, ou nous, si vous le trouvez meilleur. Mais prenez garde que, par le même point donné, il peut y passer deux de ces ovales et partant y avoir deux tangentes, ce que j'espère que l'équation fera découvrir.

6. J'y travaillerois, mais je suis assuré que vous y réussirez mieux (juc moi, joint qu'il me faudroit être délivré de la roue à laquelle je suis attaché, ayant appelé du nom de roue le cercle qui roule avec les conditions que vous savez (^); et ayant donné un nom à la ligne courbe que décrit un point delà circonférence pendant une révolution entière, je démontre que l'espace compris de cette ligne courbe et de la droite qui lui sert de base, sur laquelle la roue se meut, est majus (lato qiiam in ratione, c'est à savoir que, de cet espace en ayant ôté l'espace de la roue, il y aura même raison du reste à la même roue que de la base de l'espace à la moitié de la circonférence de la roue.

D'où il s'ensuit qu'en la roue ordinaire, de laquelle la base est estimée égale à la circonférence, l'espace dont il s'agit est triple de la roue; et si la base est double de la circonférence, l'espace sera quintuple de la roue; si triple, septuple : et ainsi en continuant par les nombres impairs.

De tout ceci je vous envoierai par le premier courrier une brève démonstration, en attendant le Traité entier.

Je suis etc.

(') La courbe .r^-i- )-3= axy. — /'<«> Lettre XXV, 6, et ci-après, pièce XXXI, 3. — Il faut observer que, pour prendre à la lettre l'énoncé de Descaries et en l'absence de conventions précises sur l'interprélation des signes des coordonnées, Roberval devait rejeter les branches infinies de la courbe, comme ne faisant pas partie du lieu, et, au contraire, y ajouter dans eliaquo angle autre que celui des coordonnées positives, un folium symétrique de celui que forme la courbe dans ce dernier angle. La figure d'ensemble du lieu, figure admise au reste par Descartes lui-même, justifie dès lors le nom do galand (nœud de ruban), que lui donna Roberval (voir, ci-après, Lettre XXXV). Dans la phrase ipii suit, ce dernier semble faire allusion au point double à l'origine.

(-) Conditions de génération des cycloïdes. — ^oir Lettre XXV bis, 7.

FERMAT A MERSENNE (')

Mon Révérend Père,

1. .l'avois déjà fail 1111 mot d'rciit pour m'oxpluiiKT plus clairement à 31. Descartes, sur le sujet de ma méthode demaximis et minimis et de im'entione tangentiiim, lorsque votre dernière m'a été rendue, qui contient copie de la réplique (-) de M. Descartes. Je ne reste pas de lui envoyer ce que j'avois déjà fait ('), où il trouvera sans doute de quoi se désabuser de la croyance qu'il semble avoir, que j'ai trouvé cette méthode par hasard et que je n'en connois pas les vrais principes.

2. îl a déjà franchi qu'elle est bonne pour les tangentes, en se servant d'une propriété spécitique des lignes courbes, ce qu'il di( < ne > pouvoir être sous-entendu en mon écrit latin; en elTet, je n'aurois ni sens commun, ni logique naturelle, si je croyois d'une propriété générale en tirer des particulières. La méthode donc est bonne, au sens auquel je l'emploie pour les tangentes.

Et n'importe de dire qu'il faut faire deux opérations, l'une par A-i-E, l'autre par A — E, car une seule suffit pour la construction, quoique la démonstration que je n'ai pas encore donnée, tire son principal fondement de ce que A -1- E fait la même chose que A — E.

(1) Lettre inédite, envoyée à Mersenne avec la Pièce suivante XXXI. Mersenne adressa le tout à Descartes le 20 juillet i638. D'autre part, cette Lettre XXX fut écrite sur le vu de celle de Descartes à Mersenne, du 3 mai {ci-nvnnt XXVII), que le Minime n'adressa à Fermât qu'après le i'"' juin {voir Lettre XXIX, 3). Les deux Pièces XXX et XXXI sont <lonc de la fin de juin nu du comnienccnient de juillel i(J31S.

r-) Lettre XXVII.

r') La Pièce XXXI.

3. Reste de dire un mot de la méthode sur le sujet de l'inveiitioii maximœ et minimœ, laquelle il prétend être fautive et en allègue l'exemple suivant :

Du point D {fig. 66) il faut tirer DA sur le cercle, en telle sorte qu'elle soit la plus grande qui, du point D, puisse être menée au dit

cercle sans le franchir (ce qui, en effet, ne veut dire autre chose que chercher la tangente AD).

Si nous prenons CN pour A, et DA pour la plus grande, selon la méthode, nous trouverons une équation impossible, d'où il conclut que la méthode est insufiisante.

Je réponds que je n'ai garde de prendre DA pour la plus grande (bien que la limitation de M. Descartes semble lui pouvoir donner ce nom), d'autant que la méthode, n'agissant que par la propriété spécifique du cercle, en trouve toujours de plus grandes qui peuvent être tirées au dit cercle jusques au point B. Mais la méthode satisfait d'ailleurs à cette question, qui y peut très facilement être réduite, comme M. Descartes a reconnu, et voici comment :

Puisque DA touche le cercle, DA est à AC, perpendiculaire, en moindre proportion qu'aucune autre ligne tirée du point D au cercle, de l'un et de l'autre côté du point A, n'est à la perpendiculaire tirée, du point auquel elle concourt avec le cercle, sur le diamètre; ce qui paroît d'abord.

Cherchons donc par la méthode un point au cercle, comme A, en sorte que DA ad AC habeat minimam proportionem ; dabiturpunctum A, ideoque tangens.

Voilà la raison de l'opération de M. Descartes, qu'il n'a pas dite.

Fermât. — U.

ISi ŒUVRES 1)K l'KHMAT. - (.015 IlESPON DANCK.

laciiiolli; coiitiriiie la roi^lo (oui à i'ail. liion loin d'y remarquer des défauts, je erois qu'il y trouvera plus de facilité qu'à la sienne (')

aiÉTHODE DE MAXIMIS ET MINIMIS

EXPLIQUÉE ET ENVOYÉE l'AU M. FERMAT A M. DESCARTES (2). (A, f»' ih. k 6-].)

1. La méthode générale pour trouver les tangentes des lignes courbes mérite d'être expliquée plus clairement qu'elle ne semble l'avoir été.

Soit la courbe donnée ZCA (Jïg. 67), de laquelle le diamètre soit CB. Soit encore donné dans la courbe le point A, duquel soit menée l'appliquée AB sur le diamètre. Il faut chercher la tangente AD, de laquelle le concours avec le diamètre prolongé se fait au point D.

Les lignes AB et BC sont données; supposons que BA s'appelle //, cl (jue BC s'appelle IJ. Supposons que la ligne BD, que nous cherchons, s'appelle A. Prenons à discrétion un point, tel que E, sur la tangente, duquel soit tirée EF parallèle à AB, et supposons que la ligne BF soit E.

(') La Lellrc csl cviilcminoiU incomplolo. D'apri's la réponse do Descarlos à llcrsciinc, en date du 27 juillet i638 {Lettres de Descartes, éd. Clci'selicr, lll, 66, p. 37.J-375), Fermat y aurait répondu à la question V do Sainte-Croix (voir p. 64, note), c'ost-à-dirc donné le nombre i 476 3o4 896, comme quatrième connu dont le double soit égal à l;i somme de ses parties aliquotcs. Descartes ajoute :

« ... il mot un peu devant, touchant la quatrième question de M. de Sainte-t^roix (voirp. ag, note 2), que j'aurai peut-être fait la même équivocpie, qui lui arriva la première fois qu'elle lui fut proposée, cl que j'aurai cru qu'il sullisoil que les nombres clicrcliés ne fussent ni quarrés, ni composés de deux quarrés, bien qu'ils fussent composés do quatre, ce qui n'est pas pourtant selon le sens de l'auteur etc. »

(■) Pièce jointe à la précédente {voir page i,'J2, note i). — Elle a été publiée par M. Charles Henry dans ses Jier/iérc/ict sur les manuscrits de Pierre de Fermai (pages 184 à 189;, d'après le brouillon d'.Vrbogast. Celui-ci ne l'a connue que par une copie de Alersenne, aujourd'hui perdue.

Donc CF sera D- E,¥E sera