XXXI. - JUIN
le solide de A', CF, FE, en notes, est
yVinZ)ingin 4 — Vin /) in ^ in g — /Vin ^ in .4 iii g + Vin g in gy.
Multipliant tout par Acub., il faut comparer
De. in Ac. — Ec. in Ac. — Dg. in E in .) f. 3 + Z> in Erj. in A c. 3
-+- Bc. \n A c. — Bc. in Ec. — Bc. in A q. in £".3 -+- Bc. in A q. in Eq. 3
avec
7Vin/>iri /?in te— Vin Z) in 5 in £" in .47.
— Vin B\\\ E\i\ .4 c. +./Vin fi in Eq. in .47.
Otons les choses communes, savoir, du premier terme,
De. in .4 c. H- fie. in .4 c,
et du second,
iVin D in B in 4c.,
qui sont égaux par la propriété de la ligne; — puisque les deux cubes De. et Bc, répondant aux cubes des deux lignes BC et BA, sont égaux au solide A' in D in U, qui répond à celui de la ligne donnée et des deux lignes BC et BA. — Divisons le reste par E et ôlons ensuite tout ce qui se trouvera mêlé avec E; restera enfin
/>7. in 4 1er + fi cm6. 1er égala A' in Z) in fi h- A' in fi in I,
e( ainsi nous aurons
/Vin Z> in fi = B euh. 1er
/>7. ter = Ain B
égal à .4,
ce qu'il falloit chercher.
Nous avons mis, suivant la méthode de Viète(' ), deux lignes == [)our la marque du défaut, parce qu'il n'appert point, s'il n'a été dit d'ail-
(') Vièie, la Arlom analyticen Isagoge, cap. iv, praic. n (éd. Scliooteii, Lcyde, El/.evirs, 1646, page 5) :
(I Ciim autem non pi-oponilur ulra magnitiido sit major vel minor, et tamon siibdm-tio D facionda est, nota dilleronliu3 est = id est, minus inccrto : ut propositis A qnadralo et 1) li piano. dilTerenlia erit A quadratum = B piano, vel B plannm = A quadrato. u
leurs, (iiioUo est la proportion dos doux liguos H ot D, ou bien BA et BC, données. Car il pont arriver que quelquefois, suivant la diversité dos proportions do D ol do D, la ligne eourbo sera oonvexo ol d'autres fois concave; quelquefois encore (|ue la tangente sera parallèle au diamètre BC; quelquefois enfin que le concours avec le dianiètro se fora de l'autre oôté, ce qui se détermine aisément par la méthode même, lorsqu'on nous donne la proportion des deux lignes données BActBG, comme il est très aisé de voir ot de faire comprendre. Lorsque je parle de la proportion des deux lignes données, j'entends leurs valeurs, en nombres ou sourds ou ralionaux; car autrement on sait assez que, deux lignes étant données, leur proportion est aussi donnée.
4. Il parait donc que ou je me suis mal expliqué ou que M. Doscartcs a mal compris mon Écrit latin ('); s'il veut que ce soit le premier, je ne le lui contesterai guère. Il s'est aussi trompé en ce qu'il a cru que, pour appliquer la méthode de maximis et minimis à l'invention des tangentes, il falloit chercher une ligne, comme AD {fig. 69), menée,
Fig. fio-
du point A donné, sur le diamètre, en telle sorte que AD soit la plus grande qui puisse être tirée du point D à la courbe. M. de Roberval (^) lui a déjà fait voir la raison de son mécompte, duquel il a voulu tirer cette conséquence, que la méthode de maximis et minimis étoit fautive et avoit besoin d'être corrigée, en quoi il s'est aussi bien trompé qu'au reste.
5. Mais pour lui marquer de quelle façon la méthode de maximis et minimis peut être appliquée à l'invention des tangentes, la voici :
(') Aletliodiis ad diaquircnâdm maxunum et inininiani. Tome I, Jiagc l'iS. (') LeUrcK de Dcscarte.i, éd. Clcrselier, III, 58.
Le point A étant donné, il tant avoir recours, non pas admaximaiii. puisqu'on ne trouvcroit que l'intini, mais ad minimam. Cherchons donc le point 0 dans le diamètre, de telle façon que la ligne OA soit la plus courte qui puisse être tirée du point 0 à la courbe. Le point O étant trouvé par la méthode, joignez les deux points 0 et A par la ligne OA, et tirez la ligne AD perpendiculaire sur OA. Je dis que la ligne AD touchera la courbe, < ce > dont la démonstration est aisée.
Car si AD ne touchoit pas la courbe, une autre droite la toucheroit au point A, laquelle fera son concours au dessus ou au dessous de D, et tous ses points seront hors de la courbe, et elle fera des angles inégaux avec OA au point A. Si donc, sur cette touchante supposée, du point 0 l'on tire une perpendiculaire, elle ne rencontrera pas la touchante au point A, mais au dessus ou au dessous, et elle coupera la courbe plus tôt que d'arriver à la touchante. Donc la partie de cetic perpendiculaire comprise entre le point 0 et la courbe sera plus courte que la perpendiculaire, et la perpendiculaire étant plus courte que OA. à cause de l'angle droit, il s'ensuivra que la ligne comprise entre la courbe et le point 0, faisant partie de la perpendiculaire, sera plus courte que OA, laquelle pourtant nous supposons la plus courte île toutes celles qui du point 0 peuvent être menées à la courbe.
Que si la ligne Cx\ {fig- 70) est convexe en dehors, soit la taii-
Fig. 70.
gente DA sur laquelle soit tirée la perpendiculaire AO. Il paroit par la construction que AO est la plus courte de toutes celles (jui du point 0 sont menées à la courbe, de sorte qu'en cherchant le point 0, le point A étant donné, on trouve aisément la tangente.
160 ŒIVUES DE FERMAT.- C0RHES{M)NI)AN(;E.
