XLIV. — 18 OCTOBRE 1G

ment sur lequel j'appuie les démonstrations de tout ce qui concerne les progressions géométriques, qui est tel :

Tout nombre premier (') mesure infailliblement une des puissances — I de quelque progression que ce soit, et l'exposant de la dite puissance est sous-multiple du nombre premier donné — i; et, après qu'on a trouvé la première puissance qui satisfait à la question, toutes celles dont les exposants sont multiples de l'exposant de la première satisfont tout de même à la question.

Exemple : soit la progression donnée

3 9 2- 8i 243 729 etc.

avec ses exposants en dessus.

Prenez, par exemple, le nombre premier i3. Il mesure la (roisièmc puissance — i, de laquelle 3, exposant, est sous-multiple de 12, qui ost moindre de l'unité que le nombre i3, et parce que l'exposant de ';2(), qui est G, est multiple du premier exposant, qui est 3, il s'ensuit que i3 mesure aussi la dite puissance 729 — i.

Et cette proposition est généralement vraie en toutes progressions et en tous nombres premiers; de quoi je vous envoierois la démonstration, si je n'appréhendois d'être trop long.

5. .Mais il n'est pas vrai que tout nombre premier mesure une puissance + I en toute sorte de progressions : car, si la première puissance — I, qui est mesurée par le dit nombre premier, a pour exposant un nombre impair, en ce cas il n'y a aucune puissance -f- i dans toute la progression qui soit mesurée par le dit nombre premier.

Exemple : parce qu'en la progression double, 23 mesure la puissance — I qui a pour exposant it. le dit nombre 23 ne mesurera aucune puissance -+■ 1 de la dite progression à l'infini.

Que si la première puissance — i qui est mesurée par le nombre

(') C'csl de cet énoncé qu'a été tirée la proposition connue sous le nom de Théorcnie de Fermât, à savoir que si p est premier et ne divise pas a, il divise «''-' — i.

Feiimat. — ■ n. 27

210 ŒUVRES DE FEUMVI. - (.OIUIE SI'ONDANCE.

premior doniu' ;i pour cxposaiil un iiomhrc pair, en ro cas la piiissanoo -t- I (|iii a |)oiir ('X|)osaii( la nioilir diulil prciuior exposant sera Mipsuri'c par le nombre |)reniier donné.

6. Tonle la diltienllé consiste à trouver les nombres ])reniiers qni no mesurent aucune j)uissance 4- i en une progression donnée : car cela sort, par exemple, à trouver quels des nombres premiers mesurent les radicaux des nombres parfaits et ii mille autres choses, comme, par («xeniple, d'où vieni que la ']-'' puissance — i en la progression double est mesurée par -i-i']. Kn un mot, il faut déterminer quels nombres |)r('miers sont ceux qui mesnrent leur premiî're puissance — i en telle sorte que l'exposant de la dite puissance soil un nombre impair, ce que j'estime fort malaisé, en attendant un plus grand éclaircissement de votre part et qu'il vous plaise d'étendre cet endroit de votre lettre, oii vous dites qu'après avoir trouvé que le diviseur doit être multiple + I de l'exposant, il y a aussi des règles pour trouver le quantième des dits multiples + i de l'exposant doit être le diviseur.

7. Voici une mienne proposition (que peut-être vous aurez aussi Irouvée) que j'estime beaucoup, bien qu'elle ne découvre pas tout ce ([ue je cherche, que sans do.ute j'achèverai d'apprendre de vous :

En la progression double, si d'un nombre quarré, généralement parlant, vous ôlez 2 ou 8 ou j2 etc., les nombres premiers moindres de l'unité qu'un multiple du quaternaire, qui mesureront le reste, feront l'effet requis.

(Zomme de 2j, qui est un quarré, ôtez 2; le reste 2! mesurera la I 1*^ puissance — i.

Otez 2 de \r), le reste '17 mesurera la 23" puissance — r.

Otez 2 de 22j, le reste 223 mesurera la 37* puissance — i ; etc.

Kn la progression triple, si d'un nombre quarré ut supra vous (Mez 3 ou 27 ou 2'|3 etc., les nombres premiers moindres de l'unité qu'un multiple du quaternaire, qui mesureront le reste, feront l'elfet requis. Comme :

Otez 3 de 2"), le reste 22 est divisé par it, qui est premier et