TOULOUSE 27 JUILLET

(Tome II, p. i35, i5i.)

[Groningue, Bibl. de l'Université, Ms. 1 10 (collection van Schooten), l" 1G verso-17 recto.

— Florence, Bibl. Naz., Mss. Galileiani, Discepoli, vol. GUI, f"8 105 recto-100 verso.

— Les deux copies portent en baut : Suite du même sujet d'une lettre du 27 juillet i638 (ajouté en F : R.P.M.); d'ailleurs celle de Florenco porte Deleatur. — L'extrait suivant a été publié dans les Mémoires de l'Académie de Toulouse, s. XI, t. V, 1917, p. So-83. d'après la première seule des deux sources.]

La lettre suivante fait suite immédiate ;i la précédente. C'est probablement de cette lettre que Descartes écrivit a Mersenne le 23 août i638 : « I'ay considère exaclemenl la démonstration prétendue de la Roulette

envoyée par M. Fermât, laquelle commence par ces mots : Le centre du demi-cercle N, le diamètre, etc. Mais cest le galimathias le plus ridicule que V aye encore jamais va. En effect il monstre, par la que, n'ayant rien sceu trouver de bon touchant cete Roulette, et ne voulant pas pour cela demeurer sans response, il a mis la un discours embarrassé qui ne conclud rien du tout, sur i espérance qu'il a eue que autres croiroient cependant qu'il i aurait trouvée. Si le sieur de Roberval s"1 est contenté de cela, on peut bien dire en bon latin que mulus mulum fricat » (Œuvres de Descartes, éd. cit. t. II, 1898, p. 333, ou Œuvres de Fermât, t. IV, 191 1, p. ioli-io^). Fbf'r d'ailleurs aux lieux cités respectivement t. II, p. 395, ou t. IV, p. 108, et la lettre de Carcavi citée aux prolégomènes du document précédent.

le prens la plume à ce coup pour justifier Mr Roberval contre la censure trop précipitée que i' auois fait de sa proposition delà Roulette et me réfute moymesme sans attendre que la chose vienne de luy. Vous luy tesmoignerés donc, s'il vous plaist, que ie me retraite avec plus de satisfaction que ie n'en receurois si mon sentiment, que i' escriuis trop à la haste contre sa proposition, estoit véritable.

Or, affin qu'il cognoisse que ie comprens exactement la vérité de sa proposition, voicy la fin de la démonstration, que vous adiousterés, s'il vous plaist, au commencement que ma lettre en contient, et j'estime qu'il approuuera, puisqu'elle est courte et généralle.

J'en demeuray donc là qu'il me falloit prouuer au deinicercle, duquel le centre est N {fig- 23) et le diamètre diuisé en parties esgales 1K, KL, LM, JV1N, NO, OP, PQ, QA que la somme des lignes AB, AC, AD, AE, AF, A(i, AH, AI à l'infiny, fait la moitié de la demi-circonférence AI, prise autant de fois qu'il y a des lignes AB, AC, etc. à l'infiny.

Pour le prouver il faut que les portions AQ, PQ, etc. à

l'infiny, soient mesurées par le binaire, afin que l'une des portions se rencontre au centre N. Cela fait, il est aysé de premier que AB est égale à IH, AC à IG, AD à IF, AE à IE, AF à ID, AG à IC, AH à IB. Doncques les dites lignes AB, AC, AD, AF,

Fi». 23.

AG, AH, ionctes aux dites lignes IB, IC, ID, TE, IF, IG, IH

feront autant de fois la demi-circonférence qu'il y a des lignes AB, AC, etc. à l'infiny, car AB et IB font la demicirconférence, et de mesme AC et IC, etc., en ioignant celles de dessus avec celles de dessoubs. Il s'ensuit donc que les lignes AB, AC, etc. à l'infiny, si vous y comprenés la demycirconférence prise deux fois, seront plus grandes que la demicirconférence prise autant de fois qu'il y aura des lignes; et au contraire, s'y vous n'y comprenés pas la demi-circonférence, elles seront moindres. D'où l'on peut conclurre, en raisonnant à la mode d'Archimède, que toutes les lignes AB, AC à l'infiny font la moitié de la circonférence, prise autant de fois à l'infiny qu'il y aura des lignes. D'où il suit enfin que l'espace de la Roulette estaucerclecomme3 à 1 , lorsquelaréuolutionestégale à la circonférence ; lorsqu'elle est double, comme 5 à i, etc. Ce qui m'obligea à mécroire cette proposition, fut que ie ne songeay d'abord qu'à la progression arithmétique, sur laquelle, comme sçait Mr lloberval, la pluspart des quadratures sont fondées.

Pour satisfaction de ma faute, i' envoyé cette proposition suivante à Mr Roberval :

Prenez un cylindre droit, sur lequel, en tel endroit qu'il vous plaira, plantez le pied d'un compas, duquel l'ouverture soit égal au costé du quarré inscrit du cercle qui sert de base au cylindre; descrivez une figure sur le cylindre par ce compas (-'). Faittes ensuitte rouler ce cylindre sur un plan, la figure descrite sur le cylindre marquera et descrira sur le plan par le roulement du cylindre une espèce d'ovale; et à mesure que le mouvement du cylindre roulant sur le plan sera plus ou moins viste, la figure sera plus ou moins grande. Et néantmoins de quelque grandeur h l'infiny que soit cett'ovale, voicy sa propriété :

autour de ccluy de ses axes qui a esté deserit par le roulement, et qui augmente ou diminue en longeur à mesure que le roulement est plus ou moins viste, descrivés une sphéroïde, par la circonvolution de V ovale ; le cylindre circonscrit à cette sphéroïde sera à sa sphéroïde comme la circonférence d'un cercle au double de son diamètre. Et quoyque la sphéroïde, par la diuersité des vistesses du roulement puisse augmenter ou diminuer en grandeur à Vinfiny, cette proportion sera tousiours la mesme.

Dans sa lettre à Mersenne, du 22 octobre i638, Fermât a construit au moyen de sa méthode des tangentes, la touchante à cette ovale

(') On sait que les courbes, telles que la proposée et celles qu'on obtient en donnant d'autres valeurs à l'ouverture du compas, étaient étudiées déjà dans l'antiquité, où on les obtenait par l'intersection d'une sphère et d'un cylindre. Si le diamètre du cylindre n'est pas déterminé, on obtient les Idppopèdes d'Eudoxe et probablement la courbe, appelée l'admirable (racoâSofoç ypa^pj) par Menelaos d'Alexandrie (voir ci-avant, p. i4), au cas où le rayon de la sphère est égal au diamètre du cercle directeur du cylindre (l'entrave du cheval). C'est cette dernière qui fut plus tard célèbre par la proposition de Viviani (169a), dont d'ailleurs l'analogue, relative à la spirale sphérique, qui a pour équation en coordonnées sphériques 8 = - \ , était établie par une démonstration de Pappus.

« laquelle, dit-il (t. II, p. 172), i'enuoyai dernièrement à M. de Roberval ». Celui-ci ne manqua pas de résoudre bientôt les problèmes du géomètre de Toulouse, aussi pour d'autres valeurs de l'ouverture du compas. N'ayant pas écrit à Fermât depuis le ier juin 1 638, il lui apprit dans sa lettre du 4 août 1640 qu'il avait construit au moyen de sa méthode mécanique « les tangentes des lignes courbes qui se décrivent avec un compas sur la superficie d'un cylindre et puis se réduisent en plan » (t. II, p. 201), et il donna la solution du problème proposé cidessus par Fermât pour des valeurs diverses de l'ouverture du compas, aussi dans son Traité des indivisibles, qui ne fut publié qu'après sa mort (Divers ouvrages de mathématiques et de physique par Messieurs de l'Académie royale des Sciences (Paris, 1693, p. 11 3 et suiv.). Pour le cas où cette ouverture est égale au diamètre du cylindre, il prouve que la courbe, après sa réduction en plan, est une sinusoïde, et il se servit de sa quadrature pour l'évaluation du volume engendré par la révolution de la Roulette autour de sa base, qui lui était connue depuis l'été de i638. Voir pour la description de la courbe une lettre de Mersenne à Huygens, du 3 janvier 1647 (Œuvres de Chr. Huygens, éd. cit, t. I, p. 32) et Y Histoire de la Roulette, de Pascal (Œuvres de Bl. Pascal, éd. cit., t. VIII, p. 2o3-2o4). D'ailleurs, les études de Fermât sur les courbes indiquées sont encore relevées en i658 et 1660, par le P. Lalouvère qui leur donna le nom de cyclo-cylindriques (t. I, p. 209, la note 1).