TOULOUSE, 5 AOUT

(Tome II, p. 1 65, 171 .)

[Groningue, Bibl. de l'Université, Ms. 110 (collection van Schooten) f° 17 recto. — Florence, Bibl. Naz., Mss. Galileiani, Disee/ioli, vol. CIII, f0' 10G verso-107 recto. — Les deux copies portent en haut : Extrait d'une lettre du 5 aoust i638 au fi. P. M. ; celle de Florence aussi le mot : Deleatur. — L'extrait suivant a été publié dans les Mémoires de l'Académie de Toulouse, s. XI, t. V, t < > 1 7 , p. 84-85, d'après la première seule des deux sources.]

Roberval, déjà sans doute en possession de sa célèbre méthode mécanique pour la construction des tangentes, qu'il appliqua le pre-

mier à la cycloïde, avoua dans l'été de i638, ne pouvoir construire la tangente à cette courbe par voie d'analyse. Cette difficulté était communiquée par Mersenne à Fermât et à Descartes, et le premier envoya à Paris la construction suivante, à laquelle il fit peut-être allusion encore dans sa lettre à Mersenne du 10 août i638 (t. II, 1894, p. i65, art. 3). Elle fut envoyée par le Minime à Descartes le 1 1 septembre i638 : « Sa première construction — réponditle philosophe, le i5 novembre 1 638, à l'égard de la construction de Fermât — cstoit générale car il y avait adiousté ces mots ou semblables : Et si la base est double de la circonférence du cercle, on doit prendre le double de telle ligne ; si triple, le triple, etc., ce qui cstoit vray et suffisoil pour faire connoistre quili 'auoit trouuèe généralement » {Œuvres de Descartes, éd. cit., -t. II, 1898, p. 434)- Il semble donc que la lettre suivante de Fermât n'a contenu que le résultat seul de sa construction, sans plus; cette hypothèse pourrait être confirmée au moyen des endroits où il est parlé encore de cette lettre : la lettre de Descartes à Mersenne du 11 octobre i63o {Œuvres de Descartes, éd. cit., t. II, p. 394), celle de Fermât à Mersenne du 22 octobre i638 {Œuvres de Fermât, t. II, p. 171-172), celle de Roberval à Fermât du 4 août 1640 {Ibid.,. p. 200-201) et les Observations sur la composition des mouvemens de Roberval [Divers ouvrages de math. (éd. de Paris, 1693), p. 107].

Je vous envoyé la tangente de la Roulette que Mr Roberval avoue n'auoir point sçeu treuver (') et laquelle i'ay tireé de ma méthode aussy bien que les autres.

Voicy la proposition qui est très belle et qui luy seruira pour accomplir de tout point son traicté (2).

Soit la Roulette ABGF {fig> ^4)5 de laquelle l'axe est BE,

(!) Cette assertion se trouve aussi dans la lettre que Descartes envoya le 11 octobre i638 à Fermât avec ses compliments pour sa construction (t. II, 1894, p- 168).

(2) Hoberval avait parlé à Fermât de son projet de rédiger un traité spécial sur la cycloïde dans sa lettre du ier juin 1GJ8. Mersenne en a parlé à diverses reprises, d'où il résulte que la publication était passionnément désirée encore en i644- Mais il ne parut, sous forme étendue, qu'après la mort de l'auteur, sous le titre de de Troc/ioïde eiusque spatio Divers ouvrages de math., etc. (Paris, 1693), p. 246-278].

le demi cercle roulant BCE, le point G auquel il faut treuuer

la tangente.

Soit tirée GCD parallèle à la base AF, et au point C, où elle coupe le cercle, soit tirée la ligne CB. Sy vous faites GH parallèle à CB, la ligne GH touchera la courbe AGB au point G.

Sy la base AF est double de la circonférence du cercle, qui roule, il faudra faire

comme la double de CD à BD, ainsj GD à DH ;

si AF est triple, il faudra faire

comme la triple de CD à DB, ainsy GD à DH,

etc(').

(> ) Fermât a donné la démonstration de cet énoncé plus tard dans un écrit datant de 1640 (t. I, p. 162-165), où la démonstration se termine par les mots : Eadem methodo species omnes illius curvœ tangentes suris nanciscentur : constrûctionem gêneraient olim dedimus. Roberval a donné une démonstration analytique de la construction de Fermât dans ses Observations sur la composition des mouvemens au lieu cité dans les prolégomènes.

Fermât. — Supplément