ROBERVAL A TORRICELLI
( Paris, Bihl. Nal., l'un ils latin, nouv. acq. 234 1, f" 3 recto-18 verso ; Ibid., fonds latin, nouv. ac<[. 11196, f" 29 recto-41 verso. — La lettre est, imprimée dans l'ouvrage cité sous le n" 1, p. 284 et suiv.)
L'extrait suivant de la lettre de Roberval à Torricelli se rapporte immédiatement, aux recherches sur la quadrature des spirales infinies, dont il a été question ci-avant, p. i'3-i5. Pour l'évaluation de ces quadratures, Fermât se servait d'une règle pour la formation des nombres figurés successifs. Si nous étendons les sommes 2 à toutes les valeurs entières de n depuis i jusqu'à n, cette règle apprend que
et conduit à des formules récurrentes servant à déterminer successivement les différentes sommes ^n'". C'est ainsi que le géomètre de Toulouse arrive aussi à une formule générale pour la somme des puissances semblables des nombres naturels, qui apprend que la somme de toutes les puissances de l'ordre n d'une quantité toujours croissante est à la somme d'autant de puissances égales à la quantité la plus grande comme 1 à n -+- 1, c'est-à-dire que
.. 1" + 2" -+- . . . + a" 1 hm„-„ — — ,
théorème dont il est question dans la correspondance de Fermât, dès le mois de septembre i636. La formule fut retrouvée vers cette époque aussi par Roberval, qui écrit à Fermai s'être servi des inégalités
et le géomètre de Toulouse affirme dans sa réponse du 4 novembre i63(i
la concordance des deux méthodes, quoiqu'il soupçonne, d'ans ses lettres des 4 novembre et 16 décembre i636 (t. II, p. 83-84, 92)> fI^e la démonstration de Roberval se bornait aux cas n = i, 3, 4> pour lesquels l'on savait déjà trouver les sommes (' ). Ainsi donc, dès cette époque, Fermât était en possession (Vune démonstration complète de
x"dx= — , qu'il appliqua, pour des valeurs entières
et positives de /?, à la recherche de la quadrature des paraboles et spirales infinies. L'extrait suivant de la lettre de Roberval éclaire la voie qui était suivie par les deux géomètres, qui démontraient
la formule aussi pour le cas n= — , où m est un nombre entier,
et en faisaient emploi pour l'évaluation de la quadrature des spirales
infinies de degré fractionnaire — 5-^ = (' — ) (2)-
D'ailleurs, une démonstration du théorème mentionné fut rédigée dans l'automne de 1G40 par Beaugrand, l'ami ancien de Fermât et de Roberval, pour servir à Cavalieri, qui, s'intéressant particulièrement au problème, avait publié, en i635, la démonstration pour le cas n = 3. Celte démonstration de Beaugrand, insérée dans une lettre de huit feuilles, écrite en italien, fut envoyée deParis parMersenne après la mort de l'auteur; accompagnée d'une lettre du Minime datée du Ier mars 1G41 (3), elle arriva dans l'été de 1641 à Cavalieri, qui en fit part, entre autres, à Galilée (A) et àTorricelli (5) (voir aussi la réponse de Cavalieri à Mersennc, t. IV, p. 71 et suiv.). La démonstration envoyée est nommée universalmente in lutte le infinité dignità delV algebra et universalissima par Torricelli et Cavalieri, qui rendait la lettre de Beaugrand en partie publique (°).
Quant aux études de Torricelli sur les paraboles infinies, on a vu ci-avant (p. i33, note 2) qu'elles ne prirent pas source dans celles de
(') Voir ci-après, p. 1 49, la note 1.
(2) Voir pour l'application aux spirales de degré supérieur ei-après, p. 1 46, la note 1.
(3) Celte lettre est imprimée dans la Continitazione de/ Nuovo Giornale de' Letterati d'/taliay tome XXXIII (Modeua, 1786), p. 18.
(4) Le Opère ili Grtlileo Galilei, éd. naz., vol. XVIII, 1906. p. 34o-ii"
(s) Opère di Evangelista Torricelli, éd. cit., t. III, 1919, p. 62-63, 14 i, 226-227, '.,'1, 237 et 333.
(6) Opère di Ev. Torricelli, t. III, p. 2g-3o; Cavalieri, Exercitationes geometricœ (Bononue, 1647), P- a44-245, 283-291, 296-303.
KOBERVAL, M ERSENNE ET TORRICELLI. 145
Cavalieri qui s'en occupait depuis i638 ('), mais dans la proposition que lui adressa Roberval en i (343 ; celles sur les spirales de degré supérieur remontent au séjour de Mersenne à Rome au commencement de i645, lorsque Torricelli connut le problème de Roberval sur l'égalisation des arcs de parabole et de spirale. Les courbes en question furent conçues par lui mécaniquement, en les considérant comme décrites par un mouvement circulaire uniforme et un mouvement selon le rayon vecteur avec une accélération de degré supérieur.
Une allusion à ses études sur ces spirales dans un écrit envoyé par Torricelli à Roberval en juillet 1646 donna lieu au passage y relatif dans la présente lettre. Celle-ci fut annoncée par Mersenne à Torricelli plus d'une fois depuis l'automne de 1646; ainsi il lui apprit en décembre i6l\G et le ier mars 1647 que des copies en étaient faites. Toutefois, elle n'était pas encore reçue par Torricelli en août 1647 et probablement il ne l'a jamais reçue. Elle servit donc de lettre circulaire seulement pour les géomètres de Paris.
...Circa ha?c tempora, nempe anno i635, mediante amplissimo senatore Domino de Carcavi, cœpi per epistolas commercium litterarum habere cum amplissimo Senatore Tholosano Domino de Fermât, de quo quid sentiam habes in ea epistola quam ad R. P. Mersennum direxi super solido vestro hyperbolico intinito ( 2 ).
Is ergo vir prœstantissimus, primus omnium, duas propositiones nobilissimas ad nos misit sine demonstratione : alteram de parabolis, alteram de planis belicum utrisque per omnes dignitatum gradus sumptis (3)(ne ergo dubites amplius, quis primus taies quaestiones proposueril, illae meae non sunt quanquam î 1 las ego proprio marie. inventa ad id peculiari nostrà methodo, demonstraverim) immo univer-
(•) Voir nos Contribuzioni inédite al Cnrteggio ili Bon. Cavalieri, dans le Bollettino di Bibliografia e di storia délie scienze matematiche, 1919, p. i-i>, qui comprend aussi quelques détails sur les rapports de Cavalieri el Beaugrand.
(2) Voir la lettre précédente du 1" octobre iC>4î.
{•'• ) Allusion aux lettres de Fermai à Mersenne el Roberval, de la première moitié de l'année i(>3fi (t. Il, p. 1 a - 1 J , "3).
Fermât. — Supplément. ■<)
salius multb quam ipse proponas, quippe non solum potestates in helicibus proposuit, sed etiam potestatum radiées. Exempli gratià :
Si in hélice semidiametri omnium revolutionum ordine sumptarum, se /ta béant ut radiées quadratOR aut cubicœ, etc., numerorum ordine naturah progredentium i, 2, 3, 4» 5, 6, 7, 8, etc. quavum primam ( quadraticam puta) repaies in prima revolutione dimidiam partent sui circidi constituere ( ').
Cuinque ipsum arduarum (ut tune) propositionum demonstrationes rogarem, i 11 e in hsec verba rescripsit : Ego, inquit, /// invenirem laboravi . Labora et ipse; in hoc enim labore prœcipuam volitptatis partent consistere deprehendes (-). Quid facerem a tanto vire- incitatus? Laboravi atque in auxilium infinita nostra advocavi (nonduni enim tune nostra amplius non esse resciveram) eaque tum primum ad numéros extendi. Animadverli enim et parabolarum plana ad sua parallelogramma, et earumdem solida ad suos cylindros, et spatia helicum ad suos circulos, féliciter comparari posse, si innotesceret in numeris ratio suminge potestatum omnium ejusdem generis, ordine atque indefinite sumptarum, ad earum maximam toties sumptam, idque in onini génère potestatum. Quod quidem non diffîculter assecutus sund. Illico enim patuit
Summam omnium numerorum quadratorum, ordine naturali atque indéfini te sumptorum 1 , f\, 9, 16, 25, etc., adeorum maximum toties sumptum
( ') Dans l'équation générale — 5-^ = ( -*- ) > en posanl n = -■> on obtient la spirale
parabolique ou spirale de Fermât ( — -r-^- \ = —, dont la quadrature fut proposée par
Fe>rmat dans sa lettre du 3 juin i636(t. II, p. i3-i4, voir aussi p. 448 et t. III, p. 277-278).
H — 0 / <P \ " / R — P \ " » Il a été fait mention des deux sortes de spirales — ^-^ = ( -^ I et I — 5 — I = — »
dans le cahier envoyé par Fermât en 1 636, et dont il a été question ci-avant, p. i3-i j: Mersenne avait publié les résultats des quadratures dans ses Cogitata de i64i (t. ,11, p. 16-17). H n'apparaît pas que Fermât ait étudié les cas qui se présentent pour des valeurs négatives de n (spirales hyperboliques).
(2) La lettre de Roberval à Fermât et celle de Fermât à Roberval, dont il est question ici, se sont perdues.
