ROBERVAL, MERSENNE ET TORRICELLI. H

quoi sunt illi quadrati (hoc est ad cubum ejusdem radicis cum maximo

illo quadrato collatam) se habere ut i ad 3 sive constituerez

summam citborum, eôdem modo sumplorum, ad eorum maximum toties sumptum, sive ad quadrato -quadratum ejusdem radicis cum

maximo cubo, se habere ut i ad L\ sive constituere j\

summam quadrato -quadratorum eodem modo constituere -=> atque ita in

infinitum ( ' ) .

Ex hac propositione quae sola sufficit, innumera deduxi corolloria, qualia sunt hœc :

Summa radicum quadratorum numerorum omnium, ordine naturali atque indemnité sumplorum , ad earumdem radicum maximum totics sumptam, collata (puta summa radicum quadratarum horum numerorum i, 2, 3, 4> 5, 6, etc.) eam habet rationem quam i ad 3.

Summa radicum quadratarum omnium numerorum quadratorum, ordine naturali atque indefinite sumplorum, ad earumdem radicum maximam toties sumptam, se habet ut i ad [\.

Summa radicum quadratarum omnium numerorum cuborum ad maximam toties sumptam ut supra, se habet ut 2 ad 5.

Atque itain infinitum radiées quadratœ numerorum quadrato-quadrotorum, quadrato-cuborum, cubo-cuborum, etc. ad earum maximam toties sumptam ut supra, sic comparabunlur, ut anlecedens rationis sit semper 2 exponens quadrati, consequens verb sit summa ex ipso exponente i et alio exponente ipsius gradus ad quem pertinent numeri quorum sumuntur radiers quadratœ. Ut si sumantur radiées quadratœ numerorum quadratoquadraio-cuborum, qui sunt septimi gradus cujus exponens est 7, erit consequens rationis 9, conilatum ex 2 et 7, et ratio erit ut 2 ad 9.

Simiiiter :

Summa omnium radicum cubicarum omnium numerorum ordine naturali, hoc est in primo gradu, atque indefinite sumplorum, ad earumdem

(') Format fait la première allusion à ce théorème dans sa lettre du mois de septembre i636 (t. Il, p. 69).

148 Œl VRES DE FERMAT. - SI PPLEMENT.

radicum maximam toties sumplam, se habel ut 3 exponens cubi ad 4 composition ex code m 3 cl i exponente primi gradus.

Summa omnium radicum cubicurum omnium quadratorum ad earumdem radicum maximain toties sumplam ut supra, se ha bel ut \ ad 5.

Atque ita in infinitum radiées cubicœ omnium graduum ad earumdem maximam sumplam ut supra, comparabuntur eritque in omnibus antecedens 3, conséquens vero componetur ex eodem 3 j'uncto cum exponente gradus cujus radix cubica sumpta fuerit.

Nec aliter radiées quadrato-quadratœ omnium graduum ad earum maximam sumptam ut dictum est, comparabuntur eritque antecedens 4- Et sic in infinitum i n fin i t i es, ut satis ex pnedictis patet.

Haec cùm ad amplissimum virum scripsissem, duhitavit (') num eorum demonstrationem haberem. Itaque paucis verbis indicavi (2) eam esse facillimam, per duplicem positionem more Yeterum, incipiendo ab unitate et procedendo ordine per omnes potestates. Quo pacto facile est concludere in quadratis, exempli gratin

summum omnium numerorum quadratorum ordine natura/i, sed finilè sumptorum, ad eorumdem maximum toties sumptum, Gollatam, majorem esse quam ' ; al dempto ab eadem summa, seu ul> antécédente rationis, ipsorum quadratorum maximo ta ni mu, rémanente integro conséquente, reliqui rationem minorent quant j.

Nec ad id demonstrandum, aliô recurrendum est quam ad genesim quadratorum, quâ fit ut quivis numerus quadratus componatur ex proximo quadrato minore ex duplo radicis ejusdem minoris atque ex unitate. Quemadinodum etiam quivis numerus cubus componitur ex proximo cubo minore, ex triplo quadrati minoris, ex triplo radicis minoris atque ex unitate. Qui quidem cubus est ipsum maximum quadratum toties sumptum quot sunt numeri quadrati ab unitate incipientes ; atque ita de singulis poteslatibus secundum uniuscujusque genesim.

( ' ) Lettres de Format à Hoberval, des 4 novembre et iG décembre i636 (t. II, p. 83-84

et 92)-

('-) Allusion peut-être à la lettre de Roberval à Fermât, du 29 novembre i636, aujourd'hui perdue (t. II. |>. 92).