UN MANUSCRIT DK FERMAT

(Tome IV, XXI bis, p. 218.)

Sous le litre Intorno ad un manoscritto di Pietro Fermai testé pubblicato, mon vénéré maître A. Genocchi publia dans la Bivista scientifico-industriale délie principali scoperte ed invenzioni fatte nellc scienze e /telle industrie en i883 (anno XV, p. i48-i5i) quelques pages qui. sous la modeste apparence d'un compte rendu relatif à un document publié par M. Ch. Henry dans le Tome Xll (p. 737-740) du. Bullettinp di bibliograjia e storia délie scienze niatemaliche e Jisiche et reproduit dans cetle édition, Tome II, p. 43i, contient des données si précieuses et des aperçus si ingénieux sur les rapports entre les méthodes de Fermai et celles employées par plusieurs autres arithméticiens, qu'il paraît utile de le reproduire ici en français, après y avoir rendu un peu plus précises certaines citations.

GlNO LORIA.

Un opuscule de M. Ch. Henry imprimé dans le Ihdlettino, publié par le Prince Boncompagni (Cahiers de juillet, aoùl, septembre et octobre 1879) se clôt par une Relation des découvertes en la science des nombres, tirée d'un manuscrit de Pierre Fermât qui existe dans la Bibliothèque de Leyde et qui me semble très important. L'auteur, craignant de ne pas trouver le loisir pour mettre complètement sur papier ses démonstrations et ses méthodes, voulut faire « sommairemente le conte de ses recherches sur le sujet des nombres ». Et il d'il que, ayant reconnu l'insuffisance des méthodes ordinaires, il avait

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enfin découvert « une route tout à fait singulière » et avait appelé ce tour de démonstration « la descente infinie ou indéfinie ». Il s'en servit d'abord pour établir des propositions négatives, par exemple qu'il n'y a aucun triangle rectangle en nombres dont l'aire soit exprimée par un nombre carré; son raisonnement marche delà manière suivante : « S'il y avoit aucun triangle rectangle en nombres entiers qui eût son aire égale à un carré, il y auroit un autre triangle moindre que celui-là qui auroit la même propriété. S'il y en avoit un second moindre que le premier, qui eût la même propriété, il y en aurait par un pareil raisonnement un troisième moindre que ce second qui aurait la même propriété, et enfin un quatrième, un cinquième, etc. à l'infini en descendant. Or est-il, qu'étant donné un nombre, il n'y en a pas point infinis en descendant moindres que celui-là, j'entends toujours parler de nombres entiers. D'où l'on conclut qu'il est donc impossible qu'il y ait aucun triangle dont l'aire soit quarrée. » Il taisait la manière pour tirer d'un triangle un triangle moindre, parce que en cela se trouve précisément le mystère de sa méthode et il invitait les Pascal et les Roberval à le découvrir.

On voit sans peine que le raisonnement de Fermât a sa base dans un principe employé aussi par Euclide par rapport aux nombres entiers, c'est-à-dire que Niillum numerwn in i n fini I uni posse diminui et j'ai remarqué en i855 (Sopra ire scrilli inediti di Leonardo Pisano pubblicali da fi. Boncompagni ; Annali di Scienze matemaliche e fisiche, t. VI, p. 3o6) que la manière avec laquelle la méthode de Fermât avait été exposée par Eu 1er et Lagrange ne me parait pas complètement exacte, car ces auteurs supposent qu'il est nécessaire d'essayer par des substitutions effectives de nombres petits si ces nombres vérifient la proposition don! il s'agit : en effet Eulerveutquc l'on fasse quelques essais avec des nombres très petits ( Algèbre, t. Il, p. 25g ('); yoi'raussi pages 244j 3o2, 35i, >*><)) el Lagrange veut qu'on examine tour à tour les premiers nojnbres de lu série naturelle {Mèm. de VAcad. de

(') Il s'agit probablement do l'édition do Lyon 1794, avec Notes de Lagrange. Fermât. — Supplément. 20

Berlin, 1777, p. i4o). J'ai remarqué encore que la même méthode a été appliquée par un contemporain de Léonard de Pise, par le premier commentateur d'Euclide, Campanus de Novare, et que, tandis que Euclide employa le principe cité dans une proposition affirmative et très élémentaire de la théorie des nombres (chaque nombre qui n'est pas premier est divisible par quelque nombre premier), Campanus y eut recours à propos d'une proposition d'un rang plus élevé et négative ; c'est-à-dire qu'il est impossible de diviser rationnellement un nombre en moyenne et extrême raison. Et j'ai traduit la belle démonstration de Campanus en langage algébrique moderne, rappelant d'autres démonstrations anciennes et modernes et mentionnant une règle imaginée par M. Chasles, qui est plus générale, de la division d'une droite en moyenne et extrême raison.

Il est bon d'avertir que dans le Liber quadratorum de Léonard de Pise on trouve l'énoncé du même théorème qui fut donné comme exemple par Fermât ; il y était énoncé dans les termes suivants : Aucun nombre carré ne peut être un nombre congruent. Le traité du géomètre italien ne renferme aucune démonstration ; on y lit seulement que la démonstration se tire d'un autre théorème établi dans ce traité. J'ai essayé, dans l'article cité, de remplir cette lacune et j'ai donné deux démonstrations très simples, .le fis aussi d'autres applications de la méthode de Pierre Fermai et j'ai prouvé que le nombre 10 n'est pas un nombre congruent, proposition établie aussi par M. Matthew Collins, professeur à Dublin, mais seulement en i858. J'ai démontré encore qu'aucun nombre congruent n'est le double d'un carré et que l'équation ce'' -+- ce'2 y'2 -\- y" = z2 est impossible en nombres entiers ; plus tard j'ai prouvé la même chose par rapport à l'équation x" -+- 6n'\Y~ — \y'' — ~-2. En 1855 j'ai énoncé sans démonstration quelques autres théorèmes sur les nombres dans un journal de Turin et en 187') dans les Comptes rendus de 1 Académie des Sciences de Paris (voir la Note Sur l'impossibilité de quelques égalités doubles) ; un de ces théorèmes est une généralisation de celui relatif au nombre 10 que j'ai cité plus haut, car il affirme qu'un nombre qui est le double d'un