UN MANUSCRIT DE FERMAT

nombre premier de la forme Sn + 5 n'est jamais un nombre congruent. Lagrange se servit de la méthode de Fermât, non pour prouver l'impossibilité de certaines équations, mais pour trouver les solutions les plus simples en nombres entiers de certaines équations possibles. J'ai signalé cette application dans une Note (Sopra tre problemi aritmetici <li P. Fermât) présentée le 2 avril 1876 à l'Académie des Sciences de Turin», où je me suis occupé de trois problèmes arithmétiques de Fermât.

Mais l'usage du même tour de raisonnement pour établir des théorèmes affinnatifs n'avait été jusqu'ici employé par aucun de ceux qui essayèrent de prouver les propriétés des nombres découvertes par Fermât. En conséquence nous ne pouvons pas lire sans étonnement dans le manuscrit de la Bibliothèque de Leyde qu'il eut recours à cet artifice pour démontrer, par exemple, que chaque nombre premier de la forme L\n -+- 1 est la somme de deux carrés. Il avoue que cela lui donna beaucoup de peine et qu'il dut employer bien du temps et bien des méditations, mais qu'enfin il atteignit son but. « Et les questions affirmatives passèrent par ma méthode à l'aide de quelques nouveaux principes qu'il y fallut joindre par nécessité. Ce progrès de mon raisonnement en ces questions affirmatives était tel : Si un nombre premier pris à discrétion qui surpasse de l'unité un multiple de l\, n'est point composé de deux carrés, il y aura un nombre premier de même nature moindre que le donné; et ensuite un troisième encore moindre, etc. en descendant à l'infini jusqucs à ce que vous arriviez au nombre 5, qui est le moindre de tous ceux de cette nature, lequel il s'ensuivroit n'être pas composé de deux carrés, ce qu'il est pourtant; d'où l'on doitinférer par la déduction à l'impossible, que tous ceux de celle nature sont par conséquent composés de deux carrés. »

Il ajoute que d'autres questions « demandent de nouveaux principes pour y appliquer la descente » et que quelques-unes se traitent seulement avec une grande peine. Telle est la proposition : chaque nombre est la somme de quatre cariés. « Je l'ai enfin rangé sous ma méthode et je démontre que si un nombre donné n'était point de cette nature.

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il y en auroit un moindre qui ne le seroit pas non plus, puis un troisième moindre que le second, etc. à l'infini, d'où l'on infère que tous les nombres sont de cette nature. » On rencontre des difficultés égales, même plus grandes, pour prouver que si a est un nombre quelconque non carré, l'équation y- — ax1 -+- i aura une infinité de solutions en nombres x et y entiers. « .le la démontre (dit Fermât) par la descente appliquée d'une manière toute particulière. »

Or, tous les théorèmes que j'ai cités ont été établis rigoureusement, particulièrement par Lagrange, mais sans que l'on ait jamais eu recours à la méthode de la descente.

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