XLII. - AOUT
puisque vous me faites espérer la communication de vos pensées en cette matière.
2. Après cela, je vous dirai que M. Frenicle m'a donné depuis quelque temps l'envie de découvrir les mystères des nombres, en quoi il me semble qu'il est extrêmement versé. Je lui ai envoyé (' ) les belles propositions sur les progressions géométriques qui commencent a l'unité, lesquelles j'ai non seulement trouvées, mais encore démontrées, bien que la démonstration en soit assez cachée, ce que je vous prie d'essayer, puisque vous les avez vues.
3. Mais voici ce que j'ai découvert (^) depuis sur le sujet de la proposition 12 du cinquième Livre de Diophante, en quoi j'ai suppléé ce que Bachet avoue n'avoir pas su, et rétabli en même temps la corruption du texte de Diophante, ce qui seroit trop long à vous déduire. Il suffît que je vous donne ma proposition et que je vous fasse plutôt souvenir que j'ai autrefois démontré (') qu'un nombre moindre de V unité qu'un multiple du quaternaire n'est niquarrèy ni compose de deux quarrès, ni en entiers ni en fractions. J'en demeurai pour lors là, bien qu'il y ait beaucoup de nombres plus grands de l'unité qu'un multiple du quaternaire, qui pourtant ne sont ni quarrés, ni composés de deux quarrés, comme 21, 33, 77, etc., ce qui a fait dire à Bachet sur la division proposée de 21 en deux quarrés : quod quidem impossibile est, ut reor, ciun is neque quadratus sit, neque suapte natura compositus ex duobus quadratisy où le mot de reor marque évidemment qu'il n'a point su la démonstration de cette impossibilité, laquelle j'ai enfin trouvée et comprise généralement dans la proposition suivante :
4. Si un nombre donné est divisé par le plus grand quarré qui le mesure, et que le quotient se trouve mesuré par un nombre premier moindre
( » ) Folr Lettre XL, 6.
(«) Voir Tome I, Observations XXV et XXVI sur Diophante.
( ' ) Cette proposition avait ét6, en même temps que le second théorème énoncé Lettre XII , 3, envoyée par Morsenne à Descartes, le 1% mars i638, comme démontrée par Fermât.
de Vanité quun multiple du quaternaire, le nombre donné nest ni quarré, ni composé de deux quarrés, ni en entiers, ni en fractions.
Exemple : Soit donné 84. Le plus grand quarré qui le mesure est 4, le quotient 21, lequel est mesuré par 3 ou bien par 7/ moindres d(' l'unité qu'un multiple de 4- Je dis que 84 n'est ni quarré, ni composé de deux quarrés, ni en entiers, ni en fractions.
Soit donné 77. Le plus grand quarré qui le mesure est l'unité; h» quotient 77, qui est ici le même que le nombre donné, se trouve mesuré par II ou par 7, moindres de l'unité qu'un multiple du quaternaire. Je dis que 77 n'est ni quarré, ni composé de deux quarrés, ni en entiers ni en fractions. Etc.
Je vous avoue franchement que je n'ai rien trouvé en nombres qui m'ait tant plu que la démonstration de cette proposition, et je serai bien aise que vous fassiez effort de la trouver, quand ce ne seroit que pour apprendre si j'estime plus mon invention qu'elle ne vaut.
5. J'ai démontré ensuite cette proposition, qui sert à l'invention des nombres premiers :
Si un nombre est composé de deux quarrés premiers entre eux, je dis quil ne peut être divisé par aucun nombre premier moindre de l* unité quun multiple du quaternaire.
Comme, par exemple, ajoutez l'unité, si vous voulez, à un quarré pair, soit le quarré 10 000 000 000, lequel avec i fait 10 000 000 001. Je dis que looooooooôi ne peut être divisé par aucun nombre premier moindre de l'unité qu'un multiple de 4. ot ainsi, lorsque vous voudrez éprouver s'il est nombre premier, il ne faudra point le diviser ni par 3, ni par 7, ni par 11, etc.
6. Si ne faut-il pas oublier tout à fait la Géométrie. Voici ce qu'on m'a proposé et que j'ai trouvé tout aussitôt :
Per datum extra vel intra parabolen punctum, rectam ducere qua* abscindat se gmentum a parabole œquale dato spatio. Et, si punctum sit
XLIIL — AOCT 1€Ml :âiS
iniraparabotem, dtienmînapt wànimucm fma^d a panû^ole prr dicium pujntium abPTÙuti posai ^atâtm.
Si voas n*- rtnconXrez ja- •i'jih«:*rd 1^ cc»n>îracti«>n, je vous ferai par! de la mienne.
J*aUend> de \oy nouveDes et rui?' etr.
FERMAT A FRENICLEi^ .
1. Soit par exemple la projrreîision double depuis le binaire avee >e> exposants au-dessus :
: s î i • « ' • » )t :: lî u :* n i-
2 4 S lô 3i 64 12* 2>G Si 2 1024 2C'4-f ix/* ^i^^'^ lô5^4 32-6^^ 655^»
Je dis que* si voas au^ment^z )e^ ufptuhr^^ fU* la progre>sion df Tunitê, et que vou^ fasr^i^z >, S* f^* 17* et/;,, tou*> le*^ dil*f nombre^ pn^ jTessif> ainsi au^enlé^, qui vf trouveront avoir pour exposants dps nombres qui ne sont pa^ d^ la dit^- pro/n'»?*jorj double, M'ront nombres imposés.
2- Bien qu'on puisse fair*- uue ariat//i/iie {/artj*;uliêre qui est trop longue à décrire, il suffit de voufc faire 'r'/i/i|/r<'ridre, dans Texempl*qui suit, la proposition que j'v ai fait^ :
Soit le nombre pro/re^^if au^ia<^iité de l'unité ^'î>^# duquel l'exposant eM i3 nombre premier, le di& que, ëi v>Ufe divi^fz Hi^^'î par 'J, le
• ' FmpDeiiî publié jiar M. Cb, M*Miry < H^*<rr<A>efeu., p. jy/'i«/i; d aprft k brouiii<Mi d Arixi^2tà»l. I] jK»rte sur la cupie au net le tiire : -W* ^* nomJbres premier* de Fermas à Fremcle, et li x&euiioii : I/aprè$ la copU dLc Mierseiute.
quotient ne pourra être divisé que par un nombre qui surpasse de l'unité ou le double de i3 exposant susdit, ou un multiple dudit double de i3, etc., à l'infini.
Que si l'exposant est un nombre composé, qui pourtant ne soit pas un de ceux de la progression double, je puis trouver tous les diviseurs fort aisément.
3. Mais voici ce que j'admire le plus : c'est que je suis quasi persuadé (*) que tous les nombres progressifs augmentés de l'unité, desquels les exposants sont des nombres de la progression double, sont nombres premiers, comme
et le suivant de 20 lettres
18446744073 709551617; etc.
Je n'en ai pas la démonstration exacte, mais j'ai exclu si grande quantité de diviseurs par démonstrations infaillibles, et j'ai de si grandes lumières, qui établissent ma pensée, que j'aurois peine à me dédire.
FERMAT A FRENICLE.
