XLIV. - 18 OCTOBRE \(ikO

la dernière de vos lettres en date du 21 septembre (*). Je tâcherai de réparer par celle-ci la longueur de l'attente et commencerai par la liberté que je prends de vous dire que je n'ai point vu encore aucune proposition de votre part que je n'eusse plus tôt trouvée et considérée; et afin de vous rendre vous-même juge de cette vérité, et vous ôter en même temps le scrupule que vous pourriez avoir, que je n'en use comme quelqu'un de ceux du lieu où vous êtes, qui s'attribue impunément les inventions d'autrui, après qu'elles lui ont été communiquées, je commencerai par la proposition (^) de la différence de deux quarrés, que vous trouverez dans Bachet sur le Diophante, au commentaire de la proposition II du deuxième Livre, en même façon que vous me l'avez envoyée, vous avouant pourtant que l'application, que j'estime beaucoup, est toute vôtre et que je l'ai apprise de vous.

2. Pour le sujet des progressions, je vous avois envoyé par avance ( ') les propositions qui servent à déterminer les parties des puissances — i , et, par ma seconde Lettre (*), je vous avois fait comprendre que j'avois considéré toutes les propositions qui servent aux puissances -h i, de quoi je m'étois contenté de vous donner deux exemples, dont l'un étoit démontré par moi -et par conséquent connu nécessairement, et l'autre ne m'étoit point entièrement connu par raison démonstrative, bien que je vous assurasse que je n'en doutais pas.

Or, pour venir à la connoissance de ce dernier, quoiqu'imparfaite encore et non achevée, je ne le pouvois sans avoir plus tôt examiné et prouvé par démonstrations toutes leurs propositions contenues en votre dernière, ce que vous n'aurez nulle peine de croire, puisque le seul exemple que je vous envoyai le marquoit assez, auquel j'ajoutois qu'en toutes progressions on pouvoit déterminer les diviseurs communs et généraux avec pareille aisance.

Mais je vous avoue tout net (car par avance je vous avertis que,

(*) Leitro perdue.

(>) Consiruction de deux carrés entiers ayant une différénce donnée.

(») roirLQlire XL, 6.

(*) Lettre XUII.

comme je ne suis pas capable de m'attribuer plus que je ne sais, je (lis avec même franchise ce que je ne sais pas) que je n'ai pu encore démontrer l'exclusion de tous diviseurs en cette belle proposition que je vous avois envoyée et que vous m'avez confirmée, touchant les nombres 3, 5, 17, 2J7, 65537, etc. Car, bien que je réduise l'exclusion à la plupart des nombres et que j'aie même des raisons probables pour le reste, je n'ai pu encore démontrer nécessairement la vérité de cette proposition, de laquelle pourtant je ne doute non plus k cette heure que je faisois auparavant. Si vous en avez la preuve assurée, vous m'obligerez de me la communiquer; car, après cela, rien ne m'arrêtera en ces matières.

3. Reste à vous parler de la proposition fondamentale des parties aliquotes, laquelle m'éloit tellement connue que je vous l'avois envoyée par la première lettre que je vous écrivis (*), laquelle on m'a dit depuis s'être égarée. Pourtant, si le Père Mersenne veut prendre le soin de la faire chercher dans le bureau de la poste, elle se trouvera dans un paquet que j'adressois à M. . . . (^).

Outre que cette proposition est si naturelle, qu'il est impossible de déterminer et de trouver la moindre chose sur ce sujet, qu'elle ne se présente d'abord; de sorte qu'ayant depuis fort longtemps trouvé et (envoyé les propositions des deux nombres 17 296 et 1841O et autres pareilles ('), il falloit par nécessité que j'eusse passé par la dite proposition.

Pour votre application, il me semble qu'elle n'ôte pas la longueur que je trouvois en cette sorte de questions, qui est la seule difficulté que j'y ai toujours reconnue; sinon que je ne l'aie pas bien comprise, de quoi je vous prie m'avertir et me rendre certain.

4. Il me semble après cela qu'il m'importe de vous dire le fonde-

( *) Lettre perdue, qui doit avoir été écrite entre les Lettres XL et XLUL

(*) Carcavi?

l^) roir Pièce IVa.