XLIV. - 18 OCTOBRE

ment sur lequel j'appuie les démonstrations de tout ce qui concerne les progressions géométriques, qui est tel :

Tout nombre premier (*) mesure infailliblement une des puissances — I de quelque progression que ce soit, et l'exposant de la dite puissance est sous-multiple du nombre premier donné — i; et, après qu'on a trouvé la première puissance qui satisfait à la question, toutes celles dont les exposants sont multiples de l'exposant de la première satisfont tout de même à la question.

Exemple : soit la progression donnée

3 9 27 81 243 729 etc.

avec ses exposants en dessus.

Prenez, par exemple, le nombre premier i3. Il mesure la troisième puissance — i, de laquelle 3, exposant, est sous-multiple de 12, qui est moindre de l'unité que le nombre i3, et parce que l'exposant de 729, qui est 6, est multiple du premier exposant, qui est 3, il s'ensuit que i3 mesure aussi la dite puissance 729 — i.

Et cette proposition est généralement vraie en toutes progressions et en tous nombres premiers ; de quoi je vous envoierois la démonstration, si je n'appréhendois d'être trop long.

5. Mais il n'est pas vrai que tout nombre premier mesure une puissance -h I en toute sorte de progressions : car, si la première puissance — I, qui est mesurée par le dit nombre premier, a pour exposant un nombre impair, en ce cas il n'y a aucune puissance -+- 1 dans toute la progression qui soit mesurée par le dit nombre premier.

Exemple : parce qu'en la progression double, 23 mesure la puissance — I qui a pour exposant 11, le dit nombre 23 ne mesurera aucune puissance 4- 1 de la dite progression k l'infini.

Que si la première puissance — 1 qui est mesurée par le nombre

(') C'est do cet énoncé qu'a été tirée la proposition connoe sous le nom de Théorème de Fermât, à savoir que «i p est premier et ne divise pas «r, il divise a^-* — 1.

FSRMAT. — n. 27

premier donné a pour exposant un nombre pair, en ce cas la puissance -+- 1 qui a pour exposant la moitié dudit premier exposant sera mesurée par le nombre premier donné.

6. Toute la difficulté consiste à trouver les nombres premiers qui ne mesurent aucune puissance -f- 1 en une progression donnée : car cela sert, par exemple, à trouver quels des nombres premiers mesurent les radicaux des nombres parfaits et à mille autres choses, comme, par exemple, d'où vient que la 37* puissance — i en la progression double est mesurée par 223. En un mot, il faut déterminer quels nombres premiers sont ceux qui mesurent leur première puissance — i en telle sorte que l'exposant de la dite puissance soit un nombre impair, ce que j'estime fort malaisé, en attendant un plus grand éclaircissement de votre part et qu'il vous plaise d'étendre cet endroit de votre lettre, où vous dites qu'après avoir trouvé que le diviseur doit être multiple 4- 1 de l'exposant, il y a aussi des règles pour trouver le quantième des dits multiples -+- i de l'exposant doit être le diviseur.

7. Voici une mienne proposition (que peut-être vous aurez aussi trouvée) que j'estime beaucoup, bien qu'elle ne découvre pas tout ce que je cherche, que sans doute j'achèverai d'apprendre de vous :

En la progression double, si d'un nombre quarré, généralement parlant, vous ôtez 2 ou 8 ou 32 etc., les nombres premiers moindres de l'unité qu'un multiple du quaternaire, qui mesureront le reste, feront l'effet requis.

Comme de 2j, qui est un quarré, ôtez 2; le reste 23 mesurera la 1 1* puissance — i.

Otez 2 de 49. le reste 47 mesurera la 23*^ puissance — i.

Otez 2 de 225, le reste 223 mesurera la 37* puissance — i; etc.

En la progression triple, si d'un nombre quarré ut supra vous ôtez 3 ou 27 ou 243 etc., les nombres premiers moindres de l'unité qu'un multiple du quaternaire, qui mesureront le reste, feront l'effet requis. Comme :

Otez 3 de 25, le reste 22 est divisé par 11, qui est premier et