J'ajouterai encore cette petite proposition

Si d'un quarré vous ôtez 2, le reste ne peut être divisé par aucun nombre premier qui surpasse un quarré de 2.

(]omme prenez pour quarré i 000000, duquel, ùté 2, reste 999998. Je dis que le dit reste ne peut être divisé ni par 11, ni par 83, ni par 227 etc.

Vous pouvez éprouver la même règle aux quarrés impairs et, si je voulois, je vous la rendrois belle et générale; mais je me contente de vous l'avoir indiquée seulement.

9. Avant que finir, voici une autre proposition, laquelle vous fournira peut-être quelque application, comme vous y êtes très heureux.

Si un nombre est mesuré par un autre et que le nombre divisé soit encore divisé par un autre nombre moindre que le premier diviseur, en ce cas, si vous ôtez du quotient de la seconde division, multiplié par la différence des deux diviseurs, le reste de la seconde division, c(* qui restera sera mesuré par le premier diviseur (').

FIxemple : 121 est mesuré par 11. Divisez encore 121 par 7; le quotient sera 17 et le reste de la division 2.

Multipliez le quotient 17 par 4, différence du premier et du second diviseur, et du produit G8 ôtez-en 2; reste 06 qui sera aussi mesuré par II, premier diviseur.

10. Que si le second diviseur est plus grand que le premier, en ce

( ' ) C'esl-à-dire que si Ton a si l'on diby>bu b divise ^1(^ — ^1) — r. Si au contraire b<,biy b divise ^1(^1 — ^)-+-r.

cas, si vous ajoutez au quotient de la seconde division, multiplié par la différence des deux diviseurs, le reste de la seconde division, ce qui restera sera mesuré par le premier diviseur.

Exemple : 117 est mesuré par 3. Divisez encore 117 par 4; le quotient sera 29 et le reste de la division i.

Ajoutez au quotient 29, multiplié par la différence des diviseurs (qui ne change ici rien, parce que c'est l'unité), le reste de la dite division, qui est i; la somme 3o sera aussi mesurée par 3, premier diviseur.

J'ai déjà trop écrit et il me semble qu'il est temps que vous parliez, après avoir employé si mal votre temps à lire cette longue lettre, qui vous confirmera que je suis etc.

FERMAT A MERSENNE

MARDI 25 DÉCBMBRB i6M.

Mon Révérend Père,

1. Je languissois dans l'attente de vos lettres et de M. de Frenicle. Je suis bien aise qu'il approuve ce que j'ai fait (*); et afin qu'il ne soit plus en doute de ce que je lui demande, voici trois questions que jo lui propose, pource que les spéculations que j'y ai faites ne me satisfont pas pleinement :

i^ La raison essentielle pourquoi 3, 5, 17, 257, etc. à l'infini, sont toujours nombres premiers;

2? Qu'il me donne quelqu'un de ses autres moyens pour trouver

(!) La réponse de Frenicle à la Lellre XUV est perdue.