XLV. - 25 DECEMBRE

à l'infini des nombres premiers de tels nombres de figures qu'on voudra.

Sur quoi je voudrois être éclairci si une de mes pensées est vraie, qu'en la progression d'un nombre pair, comme 6, toutes les puissances -I- I de la progression qui ont pour exposant : 1,2, 4» 8, 16, etc. sont nombres premiers, si elles ne sont pas mesurées par un de ceux-ci : 3, 5, 17, 267, etc.; laquelle proposition, si elle est vraie, est de très grand usage.

Si je puis une fois tenir la raison fondamentale que 3, 5, 17, etc. sont nombres premiers, il me semble que je trouverai de très belles choses en cette matière, car déjà j'ai trouvé des choses merveilleuses dont je vous ferai part, après que j'aurai eu votre réponse et celle de M. Frenicle.

3° Je lui demande un moyen plus général que celui que j'ai inventé pour savoir quels sont les multiples de l'exposant utiles à la division.

Après cela, je travaillerai aux propositions que vous me demandez.

2. Sur le sujet des triangles rectangles (*), voici mes fondements :

I** Tout nombre premier, qui surpasse de l'unité un multiple du quaternaire, est une seule fois la somme de deux quarrés, et une seule fois l'hypoténuse d'un triangle rectangle.

2** Le même nombre et son quarré sont chacun une fois la somme de deux quarrés ;

Son cube et son quarréquarré sont chacun deux fois la somme do deux quarrés;

Son carrécube et son cubecube sont chacun trois fois la somme de deux quarrés ;

Etc., à l'infini.

3^ Ce même nombre étant une fois l'hypoténuse d'un triangle rectangle, son quarré l'est deux fois, son cube trois, son quarréquarré quatre, etc. à l'infini.

(*) Comparer, Tome I, Y Oùserçatlon ni sur Diophante,

4" Étant donné un nombre, pour savoir combien de fois il est l'hypoténuse d'un triangle rectangle, divisez-le par tous les nombres premiers, plus grands de l'unité qu'un multiple du quaternaire, qui le mesurent. Puis rangez les exposants des puissances des dits nombres premiers qui mesurent le nombre donné, en tel ordre que bon vous semblera, l'un après l'autre. Multipliez le premier par le second deux fois, et à cela ajoutez la somme du premier et du second; puis multipliez cette dernière somme deux fois par le troisième, et ajoutez au produit tant la dite dernière somme que le troisième, etc. à l'infini. La dernière somme marquera à combien de triangles le nombre donné peut servir d'hypoténuse.

Les nombres premiers qui sont moindres de l'unité qu'un multiple du quaternaire, ni 2, non plus que leurs puissances, ne font rien à la question, et n'augmentent ni ne diminuent le nombre des dits triangles rectangles.

Soit, par exemple, un nombre donné mesuré par 5, par le quarré de i3, par le cube de 17, et par le cube aussi de 29.

Nous aurons quatre diviseurs dont les exposants de leurs puissances, qui mesurent le nombre donné, sont :

Je multiplie le premier par le second deux fois : viendra f\ ; ajoutez-y le premier et le second : viendra 7. Je multiplie 7 par le troisième 3 deux fois : viendra 42, auquel ajoutant 7 et 3, c'est 52. Je multiplie ')2 par le quatrième (qui est 3) deux fois : viendra 3 12, auquel ajoutant 52 et 3, viendra 3G7.

Je dis donc que le nombre donné sera l'hypoténuse de 3G7 triangles rectangles et non plus.

5"* Pour trouver, par exemple, le moindre nombre de tous ceux qui sont 367 fois seulement l'hypoténuse d'un triangle rectangle, je double le nombre donné et au dit dauble j'ajoute l'unité : viendra 735, duquel je prends tous les diviseurs séparément. Quoiqu'un nombre mesure et par soi et par ses puissances, j'enlends tous les diviseurs qui