XLV. - 25 DÉCEMBRE

sont nombres premiers; le dit nombre se trouve donc divisé aux dites conditions par 3, 5, 7, 7. J'ôte de chacun des dits diviseurs l'unité et prends la moitié du reste : viendra i, 2, 3, 3.

11 faut donc prendre quatre nombres premiers plus grands de l'unité qu'un multiple du quaternaire, et prendre leurs puissances exposées par les dits quatre nombres. En quoi faisant, vous satisferez à la question généralement en multipliant les dites quatre puissances entre elles.

Que si vous voulez le moindre nombre satisfaisant à la question, il faudra prendre les quatre plus petits nombres premiers de la qualité requise, qui sont : 5, i3, 17, 29, et pour leurs puissances, il faut que celle du plus petit ait.le plus grand exposant, et ainsi des autres. Nous prendrons donc le cube de 5, le cube de i3, le quarré de 17, et 29, et multipliant tous les uns par les autres, nous aurons le moindre nombre de tous ceux qui servent d'hypoténuse à 367 triangles rectangles et non plus.

3. 11 s'ensuit de là que si le double du nombre donné, plus i, est nombre premier, en ce cas le nombre cherché ne peut être divisé que par un seul nombre premier plus grand de l'unité qu'un multiple du quaternaire.

Comme si vous demandez un nombre qui serve dMiypoténuse îi 20 triangles rectangles et non plus, pource que 4i ^^^ nombre premier, il faut prendre la 20*" puissance d'un nombre premier de la qualité requise.

Vous trouverez, par conséquence aisée, un nombre qui ait autant de diviseurs différents que vous voudrez et qui puisse satisfaire à la question, lorsqu'elle est possible. J'entends des diviseurs de la qualité requise, car vous y en pouvez mettre, comme nous avons dit, autant que vous voudrez de ceux qui sont moindres de l'unité qu'un multiple de 4» ou bien 2 et telle de ses puissances que vous voudrez.

Je vous écris ceci si fort à la hâte que je ne prends pas garde si je fais des fautes, et omets beaucoup de choses dont je vous dirai le menu une autre fois.

• 4. Pour la question des ellipses (*), elle se déduira fort aisément de ce que vous venez de voir, car la question va la à tromper un nombre qui serve d'hypoténuse à 12 triangles et non plus, de telle qualité que la dite hypoténuse ait plus grande proportion au plus grand des deux autres côtés que le dit plus grand au moindre : c'est-à-dire que chacun des dits triangles soit comme, par exemple, 29, 21, 20. Ce qui est aisé, et ayant trouvé le dit nombre, son quarré sera le demi-diamètre des ellipses.

Il le faut quarrer, afin que la perpendiculaire sur le foyer soit un nombre entier. J'en dis assez pour me faire entendre à M. Frenicle.

5. J'ajoute encore qu'une toute pareille règle à la précédente dos hypoténuses sert à cette question :

Étant donné un nombre, déterminer combien de fois il est la différence de deux nombres desquels le produit est un nombre quarré.

Et n'y a que cette différence, qu'en cette question tous les nombres premiers hormis 2 sont utiles, ce qui n'est pas en la précédente des hypoténuses. *

Comme, si un nombre est mesuré par 3 et par le quarré de 5, les exposants étant i et 2, multipliez le premier par le second deux fois, à quoi ajoutant leur somme, viendra 7. Vous pouvez donc assurer que 75 est 7 fois la différence de deux nombres desquels le produit fait un quarré.

Pour avoir le plus petit, vous userez de même voie.

Or, pour trouver tous les triangles et aussi les dits nombres en cette

(*) Foir sur celto quoslion, antérieuremenl proposée par Frenicle à Descartes, les Let~ très de ce dernier, du 20 décembre i638 (éd. Clerselier, U, gS), du 9 février 1689 (H, 97), du 3o avril 1639 (lïï, 84). Frenicle avait demandé de construire sur le môme grand axe (la) un nombrQ déterminé d'ellipses telles que pour chacune la distance des foyers {ic) fût supérieure au petit axe (a 6) et qu'on pût exprimer en nombres entiers le grand axe,

j, sur

la distance des foyers, de la distance de Tun d'eux à Fextrémité de l'ordonnée passant par l'autre.