XLVIII. — 15 Jl;IN i(3ki. ââi
Trouvez, par la précédente, un triangle non composé, les cotés moindres duquel dilîerent par un quarré, comme 20, 21, 29 ou tel autre.
S'il a les qualités requises, il en faut tirer deux de celui-ci par la méthode précédente, et le second qui viendra satisfera à la proposition.
Va s'il n'a pas les conditions requises, le premier qui s'en tirera, par la précédente, satisfera à la proposition.
Comme : 3, /|, 5 ne satisfait qu'à la précédente et non a celle-ci. Le premier qui s'en tirera y satisfera, à savoir : 29, 21 , 20, et si de cettuici vous en tirez un, viendra 119, 120, 1G9, qui ne satisfait pas à cette question; mais celui qui s'en tirera, à savoir : 985, G97, G9G, et ainsi il l'infini, alternativement, v satisfera.
8. Il y en a d'autres qui pris par couples ont leurs différences relatives (*) comme ii,Go, Gi et 119, 120, 169.
Pour les former, il faut trouver trois quarrés en proportion arithmé. (ique, qui sont par exemple : i, 2j, 49. Formez l'un des triangles de la somme des cotés des premier et deuxième quarrés et du côté du second, et formez l'autre triangle de la somme des deux côlés du second et du troisième, et du côté du deuxième, vous aurez les deux triangles requis.
Autre exemple ('^) : Soient exposés les trois quarrés en proportion arithmétique 49. iG9, 289.
Les deux triangles se formeront de 20 et 7 et de 3o et 7, et seront
4/»9, 35 1, liSo; 949» ^^'> 420.
9. Trouver un nombre qui soit autant de fois qu'on voudra polygone el non plus {^).
(*) C'csl-à-diro deux triangles rectangles en nombres (a, ^, c) («rj, /vj, ci), tels que Ton ait a — ù = l)\ — ri et /> — c = a^ — b^.
(*) Fermât commet dans coi exemple une erreur do plume. Car, d'après sa règle, ayant les carrés 7', i3', 17*, il devait former les triangles, l'un de 7 -4- 13 = xo et de i3, l'autre de i3 -+- 17 = 3o et de i3; il aurait ainsi trouvé les triangles 569, 620, l'Si et 10C9, 780, 731, satisfaisant au problème propose. Voir ci-après, XLIX, 6.
(3) Question proposée par Fermât à Freniclc. ^e;/r Lettre XUX, 7.
Fermât. — II. '-^9
10. Trouver deux triangles dont les aires soient en proportion donnée (').
Voici la règle la plus élégante :
Soient les deux nombres qui expriment la proportion donnée, a et h. Les deux triangles se forment : le premier, de abis -+- 6 et de a — /*; le second, de A bis -h a et de a — b.
Vous aurez donc deux triangles qui seront par leurs aires en proportion donnée. Car, si vous les demandez de 5 à 3, les deux triangles se formeront, le premier de i3 et 2, le second de 11 et 2, et les deux triangles seront : lyS, i65, 02 | i25, 117, ^\/[.
11. Etant donné un nombre, trouver combien de fois il peut être la somme des deux petits côtés d'un triangle rectangle (').
12. Règle pour déterminer les nombres premiers qui, en toute progression, mesurent les puissances — i seulement, ou -h i aussi (').
FRENICLE A FERMAT (»).
VENDREDI 2 AOUT iù%\ ,
( fa. p. i(^i*>-iGS.)
Monsieur,
1. J'étois dans Timpatience de savoir votre retour à Toulouse, pour me donner l'honneur et le contentement de continuer nos conférences, lorsque le Révérend Père Mersenne m'en a donné avis ; j'espère qu'elles dureront plus longtemps que je ne pensois, parce qu'il est survenu quelque chose qui m'arrête ici.
(•) yoir plus haut, 5.
(*) Question proposée par Fermât à Frenicle. f^oir Lettre XLVU, 3, et XLIX, 9. (») Question proposée par Frenicle à Fermât, fo/r Lettre XLVIÏ, 1, et XLLX, 12. (*) Réponse à la Lettre précédente, XLVUI.
