XLVIII. - 15 JUIN l6/^l
Car si Ton n'a ces deux quarrés, on ne sauroit trouver le trian^^ie primitif. Mais ce problème, de trouver ces deux quarrés, est aussi malaisé que de tâtonner, et l'ordre de la proposition précédente est fçrandement ditficile.
4. Soit un nombre impair donné, comme i/>, les couples des nombres sous lesquels il est produit sont i , i >, et 3, j. Chacun de ces deux couples le fait être un des petits côtés d'un triangle rectangle, car le premier couple (*) produit le triangle : ni, 112, 1 >; et le second couple produit le triangle : 17, i.'î, 8 (j'entends des triangles non composés).
Au premier de ces triangles, i.) est le plus petit côté, au second, le moyen. On demande quelle est la proportion des deux côtés qui produisent un nombre impair, au-dessus de laquelle te dit nombre impair soit le petit côté, et au-dessous le moyen.
Je réponds qu'il est impossible de le déterminer exactement «mi nombres entiers, parce que l'équation d'algèbre produit des nombres irrationaux, quoiqu'on en puisse approcher à l'infini de plus en phh par nombres entiers.
Par exemple : si les deux côtés qui produisent l'impair sont entn* eux en proportion moindre que de i\\\i\'i à 1000 000 ou égale, le nombre impair fera le moyen côté; que si les deux côtés qui prodnis(*nt rimpair sont en proportion plus grande que de 'i\\\'i\!\''à 1000 000 ou égale, le nombre impair fera le petit côté.
On peut approcher ces deux proportions k l'infini, mais non en termes précis; elle sera C^) en termes irrationaux, savoir de i à i -h Rq. de 2.
5. Il y a des triangles qui se peuvent diviser en deux, et subdiviser
« * < En Uiè<o générale, suivant le langa^'e de Diophante. un triangle rectan;:Ieen nombre a, b. c, est dit formé des deux nombres p et 7. si Ion a
a = p^^q-y 0 = p*— q*, c = ipq.
relations qui entraînent l'égalité «r* = ^* — r*. Mais ici. comme Fermai veut df*s nonibreî? premiers entre eux et que a, b. c seraient pairs, il prend leurs moitiés. 1 > ( Fermât renverse la proportion qu'il a indiquée plus haut.
±lk ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.
on quains seize et ainsi tant que Ton veuf, toutes les lignes des divisions demeurant commensurables en nombres entiers (*).
Si l'on entend que Taire du triangle est double, comme celle d(» 17, 1"), 8, qui est double de l'aire de i3, 12, *>, cela est aisé et se peut ainsi énoncer :
Étant donnés deux nombres entiers^ trouver deux triangles, desquels les aires wient en proportion de deux nombres donnés.
Il y a quatre règles pour soudrc cette question en ce sens (^).
6. Il y a des triangles dont les moindres cotés ne diffèrent jamais que de l'unité, comme 3, 4» 5î 20, 21, 29, lesquels se forment sur un des termes par règle infaillible à l'infini. Car il ne faut qu'ajouter le double de Tliypoténuse à la somme des deux autres côtés, et le tout, ajouté au moindre côté, fait le côté moindre du triangle requis. Ajoutez-y l'unité, vous aurez le moyen.
Exemple : le double de 29 est 58; ajoutez-y la somme des deux pelils côtés, savoir 4i, vient 99, auquel ajoutez 20, qui est le petit côté; vient 119, auquel ajoutez l'unité, vous aurez 1 19 et 120 pour les deux moindres côtés du triangle requis, qui sera : 119, 120, i(>9.
L'hypoténuse se fait du triple de l'hypoténuse et du double de la somme des deux autres côtés. Le triple de Thypoténuse est 87, le double de la somme des autres côtés 82, lequel, avec 87, fait 1G9, qui est l'hypoténuse requise.
Nous avons donc tiré du triangle : 20, 21, 29, celui-ci : 119, 120, 1O9; de celui-ci, nous en tirerons un autre à l'infini.
Même méthode pour trouver un triangle, la différence des moindres côtés duquel soit un nombre donné. J'omets les règles et les limitations pour trouver tous les possibles de la qualité requise, car la règle est aisée, en supposant les fondements.
7. Il y a dés triangles auxquels le moindre côté est toujours différent d'un quarré de chacun des deux autres, comme 20, 21, 29.
( 1 ) roir Lettre XLIX, 4.
(«) J'oir l'Observation XXIX sur Diophanto él ci-après, 10, la première de ces règles.
