Je viens maintenant a ce qui regarde les triangles

Les méthodes (^) que vous donnez, tant pour trouver les quarrés que les côtés des triangles qui appartiennent aux hypoténuses composées, sont véritablement fort belles, et vous avez la méthode de si bien disposer vos règles, que cela leur donne une certaine grâce qui les fait encore agréer davantage, mais elles' ne suivent pas mon intention, car

( » ) rolr XLVHI, 4.

[ 2) Lettre perdue.

(3) f'o/r XLVIII, 2.

je n'ai point entendu qu'on se servît des quarrés ni des triangles des parties des hypoténuses composées, mais seulement des dites parties. Par exemple, je demande une manière de trouver que Gj est composé des quarrés 6^^, i et 49. <6, supposant seulement qu'il a 5 et i3 pour les parties premières, sans employer à cet effet les quarrés 4 et i , ni les côtés 3 et 4» non plus que ceux qui appartiennent à i3.

4. Des quatre propriétés des triangles que je vous avois proposées, vous avez fort bien trouvé la deuxième (*); pour les trois autres, vous n'avez pas suivi mon intention. Partant, il faut que je m'éclaircisse plus que je n'avois fait.

La première est facile (*-*) : Que le triangle rectangle soit ABC {/ig- 78); il le faut diviser en deux triangles ABD, ADC avec la per-

Fig. 78.

pendiculaire AD; et derechef le triangle ADC en deux triangles ED(], KDA par la perpendiculaire DE et l'autre pareillement ABD en deux, savoir ADF, BDF, par la perpendiculaire DF; et derechef les triangles BDF, ADF, ADE, DEC par les autres perpendiculaires FO, FI, EL, EN ; et continuer ainsi tant qu'on voudra et faire que toutes les lignes et sections d'icelles, comme AL, LI, ID, BO, CD, DN, NC, soient nombres entiers.

5. Vous donnez par après (') les triangles dont le moindre côté est différent d'un quarré de chacun des deux autres : je sais bien que la

(•) LollroXLVm, 6.

(«) Lettre XLVm, 5.

(3) Lettre XLVHI, 7.

\L1\. — i AUIT IC*I. ±>5)

moitié do ceux qui ont i pour différence de leurs petits côtés ont aussi cette propriété, savoir ceux qui commencent par un nombn* pair « ' ». mais je n'attenduis pas que vous dussiez vous servir ili* ceux-là. espérant que vous donneriez le moyen de les trouver tous: i*l. afin d'exclure les susdits, on pourroil ainsi proposer le prfd>Iéme :

Ijonner tous les triangles qui ont un quarrê pour differenc? de leur petit cfUe à chacun des deux autres côtes, en sorte que l'une des différences Uf puisse pas mesurer l'autre.

6. Pour l'autre propriété des triangles < - », qui est d'avoir un autre triangle relatif en différeni'es, en sorte que la différen«'e des deux î^rands «-ôlés du premier soit celle des deux petits côtés du second, et la différence des deux petits côtés du premier soit celle des deux ;;rands côtés du second, comme on voit aux triangles :

49 I i I vj

II 60 0 1 1 1 Q 120 1 6o.

vous n'avez pas considéré attentivement cette proposition, car les triangles que vous donnez :

gS 71 • f^S 431

449 ^'ii 2S0 fMO ^'*i 4^0,

n'ont pas cette propriété, mais en ont une autre, qui est que les grands rôles de chacun ont pareille différence, savoir 98, et en outre que les lieux hypoténuses ont pareilh* «lifférence que les deux grands côtés. Mais ce n'est pas ce que je demande, car aux triangles

1 1 (îo f)i et I ni i:kj iGo,

vous voyez que 120 et i(')(j n'ont pas même différence que Go et Gi. ni Gi et iGfj même différence que Go et 120. Il faudroil donc, pour satisfaire à la question, qu'en vos triangles il y eût même différence de i i<) à i M que de 8ii à 420, et de iii a 280 que de ç)\<j à 8>i .

< ' } C"e5l-H-*I:ro dont le plus petit côté est jiair. • » Ix-ltre XLVllI. 8. f'oir les note».

7. Vous me proposez par après (*) de trouver un nombre qui soil polygone autant de fois quon voudra et non plus.

Je vous dirai qu'il y a quelques années que je m'étois mis ii la recherche de cela, mais h peine eus-je commencé, que je m'avisai que les figures qui sont maintenant en usage sont si extravagantes, lorsqu'on les veut mettre en pratique, j'entends quand on les veut représenter avec des jetons ou des points, qu'on les nommeroit plus à propos chimères ou grotesques que figures, lesquelles, si elles ne sont entièrement régulières, au moins doivent-elles en approcher le plus (ffue faire se peut.

Cela fut cause que je quittai ce que j'avois commencé pour me mettre à réformer ces figures, et Dieu m'a fait la grâce d'y réussir en quelque façon, car j'ai trouvé une manière de faire des figures régulières en nombres d'une infinité de sortes, et d'autres aussi qui n'ont point d'angles ingrédiens, de tant de côtés qu'on voudra. J'ai ensuite considéré quelques-unes de leurs propriétés et ce qui dépend d'icelles, de sorte que je ne me suis pas beaucoup arrêté aux figures communes, que je nommerois plutôt progressions de triangles que figures, à cause de l'assemblage des triangles par lequel elles sont formées. Je crois bien que ce n'est pas de ces nouvelles figures dont vous voulez parler, car possible ne vous en ètes-vous pas encore avisé; mais pour les communes, on peut considérer votre question en deux manières :

8. La première, si le nombre demandé est plusieurs fois polygone, (le telle sorte qu'il enveloppe tous les polygones inférieurs, c'està-dire que, si ce nombre est, par exemple, heptagone, il doive aussi être hexagone, pentagone, quarré et triangle. Et ainsi, pour avoir un nombre qui fut sept fois polygone, il en faudroit donner un qui fut figure de 9, 8, 7, G, 5, 4 et 3 côtés; ce qui seroità la vérité fort difïicile, <»l il faudroit un nombre fort grand pour y satisfaire, car les nombres

(*) Voir Lettre XLVHI, 9. Cette question dérive de celle qui termine lo Livre Des nombres polygones de Diophante. Fermai ne paraît pas être jamais arrivé à une solution qui Tait satisfait.