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qui sont seulement triangles, quarrés et pentagones deviennent incontinent fort grands, et c'est à cela que j*avois commencé à travailler.

L'autre considération est qu'un nombre soit polygone en plusieurs façons, sans se soucier si les polygones sont de suite ou non. Je n'ai pas encore recherché cela; si vous l'avez trouvé, vous m'obligerez de me le communiquer.

9. L'autre question que vous me faites ( * ) contient deux problèmes : L'un de choisir un nombre qui soit la somme des deux petits côtés de

tant de triangles quon v^oudra et non plus;

L'autre est de déterminer à combien de triangles un nombre donné est la somme des deujc petits côtés.

Pour soudre ces problèmes, il faut considérer que tout nombre premier, différent de l'unitç d'un nombre divisible par 8, est la somme des deux petits côtés d'un triangle, et tout nombre qui est la somme des deux petits côtés d'un triangle auquel les côtés sont premiers entre eux, diffère de l'unité d'un nombre divisible par 8.

Sur ces fondements, il faut faire la même chose avec ces nombres qu'on feroit sur les nombres premiers pairement pairs -hi, pour trouver ce qui est requis par les problèmes, si on demandoit des hypoténuses au lieu de la somme des deux petits côtés. Il seroit superflu de déduire cela plus au long : intelligenti loquor.

10. Si votre méthode est autre que celle-là, vous m'obligerez de me la communiquer, et aussi de quelle façon se pourroit trouver le triangle, ayant seulement la somme de ses petits côtés sans avoir les quarrés et doubles quarrés dont elle est la différence. Car ces sommes ont cette propriété d'être toujours deux fois la différence d'un quarré et d'un double quarré; et, si cette somme est un nombre composé d'autres de même nature, comme 119 composé de 17 et 7, il sera quatre fois la différence d'un quarré et d'un double quarré.

Il faudroit aussi trouver la même chose pour l'enceinte entière des triangles que pour la somme des deux petits côtés.

(>) To/r Lellro XLVIU, 11.

11. Sur le sujet des triangles, voici ce que je vous proposerai nicore :

Une hypoténuse composée étant donnée avec les quarrés premiers entre i-uar qui la composent par leur addition, trouver ses parties.

Que 221 soit l'hypolénuse donnée avec les quarrés qui la composent, savoir : loo. 121 et ij)0, a5, il faut trouver par le moyen d'iceux qne 231 a i3 et 17 pour parties.

12- J'attends de vous la manière (') de trouver les nombres premiers qui ne mesurent que les puissances — i en toute analogie, et principalement en celle de 2.

Je suis etc.

FRENICLE A FERMAT {').

TeNOBEDI 6 SEPTEMBRE 1641.

(Ca, p. ,6g-. :3.)

Monsieur, 1. Votre règle (") pour trouver les triangles pareils à 1 1, Go, Gi et 1 19, 120, iG(), est fort bonne; je m'étois seulement arrêté à l'exemple, sans la considérer autrement.

2- Slais celle que vous mettez ensuite, pour les triangles dont Ir moindre côté difTére d'un quarré des deux autres ('), sert ii la vérité pour trouver quelques-uns de ces triangles, mais non pas pour les trouver tous, ainsi que vous prétendez : car, prenant tous les nombres qui sont en proportion comme le quarré -i- i de quelque nombre au

i') ^(«>UUro XLvn, 1.

(') RC'ponse à une Lotlro perdue, par laqucllu Fermât avait répliqui- ù la [irécédeiilo, ( ») roir LoUres XLVLII. 8 et XLIX, 6. (') Cp. LetlroXLIX.S.