L. - 6 SEPTEMBRE

L'hypoténuse de tout triangle primitif sera le cofé du moyen quarré; la difFérence des deux côtés du triangle sera le moindre coté, et leur somme sera le plus grand.

Exemple : Que le triangle soit 28, 45, :)3. Le moyen côlé sera Thypoténuse, 53; la diflerence de 28 à 45, qui est 17, sera le moindre, et leur somme, 78, sera le plus grand. On aura donc 17, 53, 73 pour les racines des quarrés cherchés.

Et si Ton prend tous les triangles, commençant par le premier : 3, 4, 5, on aura tous les dits quarrés.

4. Après cette règle générale, j'en ai considéré deux particulières, dont l'une est celle que vous proposez en l'écrit particulier, savoir que, le moindre des trois quarrés demeurant toujours le même, on ait les deux autres en une infinité de fiiçons, et à laquelle vous croyez que j(» n'ai pas pris garde, quoiqu'il y ait déjà longtemps que je l'ai trouvée, lorsque je travaillois aux triangles rectangles :

Car tout nombre et chacun d'iceux est la différence des deux moindres côtés d'une infinité de triangles;

Et tout nombre premier, différent de l'unité d'un multiple de 8, ou composé desdits nombres premiers seulement, est la différence des moindres côtés d'une infinité de triangles rectangles primitifs.

Et, y ayant des voies certaines pour trouver tous les triangles qui ont une même différence en leurs moindres côtés, on aura aisément tous les quarrés susdits.

Sur quoi il faut remarquer que, si le nombre proposé, qui doit être la racine du moindre quarré des trois et qui doit être la différence des deux petits côtés du triangle, n'est divisible que par un seul nombre premier différent de i d'un oclonaire, comme sont 7, 4l)» 343; 17, 289, etc., le nombre sera la différence des petits côtés de deux triangles qu'on peut nommer surprimitifs, pourcc qu'ils sont primitifs des primitifs, car d'iceux dépend l'infinité des autres triangles, et ces deux triangles sont toujours les moindres dont l'un commence par un pair et l'autre par un Impair, et d'iceux se forme l'infinité des autres.

Voici la manière dont je me sers : si je veux, par exemple, avoir tous les triangles qui ont 7 de différence entre leurs moindres côtés, je cherche les deux premiers triangles qui ont cette différence, et trouve 5, 12, i3 et 8, i5, 17. Je prends les racines des quarrés de chaque triangle, savoir 3, 2 et 4» i» et mets chaque couple en tète d'une colonne. J'ai donc pour le premier : 3, 2. Pour avoir le triangle suivant, je prends la plus grande racine du premier pour la moindre du second, savoir 3, et pour la plus grande je prends le double de la plus grande du premier, plus la moindre. Ainsi j'aurai 8, qui est double de 3, -f- 2. Ce 8 sera la moindre racine du troisième triangle, et la plus grande du dit troisième sera 19, qui est double de 8, -h 3. On fera la même chose à l'autre couple 4» i» et on poursuivra aussi loin qu'on voudra.

aa.

Ayant donc tous les triangles qui ont 7 pour différence de leurs moindres côtés, il sera facile, par ce qui a été dit ci-devant, de trouver tous les quarrés arithmétiquement proportionaux, dont le moindre

est 49-

Si le susdit moindre quarré étoit divisible par deux nombres premiers de même nature que les susdits, il y auroit quatre souches dont tous les triangles dépcndroienf .

S'il étoit divisible par trois nombres premiers, il y en auroit huit, qui ne dépondroient point l'un de l'autre.

Etc.

Ainsi 161, composé de 7 et 23, est la différence des petits côtés des triangles surprimitifs :

19. 180. 181. I 60. 221. 229 I 279. [\l\o, 521 I et 4oo. 56i. 689,

et de chacun d'iceux on peut faire une infinité de triangles primitifs qui auront le même iGi pour différence, et partant, le quarré de iGi