L. - 6 SEPTEMBRE 16i

double — 2 du même nombre, on ne trouvera pas les triangles qui se font par 29 et 12 ou par 60 et 298, et une infinité d'autres; mais on les trouvera tous par la règle que vous mettez en l'écrit particulier (*) que vous avez envoyé, qui se fait mettant pour un des nombres constitutifs du triangle un nombre composé de deux quarrés premiers entre eux et de divers ordres.

Et cette dernière méthode sert à trouver tous les primitifs dont les côtés des quarrés (^) sont comme d'un nombre impair à un autre nombre. Par exemple, on trouvera par icelle qu'il y a deux triangles où les côtés des quarrés sont comme de G5 à un autre nombre, et dont le moindre côté est différent d'un quarré des deux autres : savoir les deux qui sont faits de 6 j et 14 et de 65 et 24 et les antres qui sont en même proportion.

Mais si on vouloit tous les triangles primitifs dont lés racines des quarrés sont comme d'un nombre pair à un impair, comme par exemple de 60 a quelque autre nombre, on n'y pourroit pas satisfaire par cette seconde régie, sinon après un long tâtonnement ('), et la première règle ne donne que la raison de 60 à 1861; mais il y a encore trois autres proportions, outre celle-là, qui ont toutes 60 pour un de leurs termes.

J'ai deux règles différentes dont chacune donne tous les triangles

( 1 ) Ëcrit perdu. — La première règle de Fermât consiste à prendre pour les nombres servant à former le triangle rectangle {voir page ^23, note i)

/? = r'— I, q = ir — 'i.

La seconde règle à prendre, r et x étant premiers entre eux,

(') Frenicle appelle ici côtés ou racines des qtuirrcs les nombres servant à former le triangle rectangle, désignés par /' et 7 dans la note précédente. ( * ) Si l'on pose

p = et o = r — I,

et que Ton fasse 7 = 60, on aura

Les trois autres proportions sont *

Go, 293; 60, 2()9: 60, 1Î7. F»»MAT. — n. 3o

susdits, avec cette différence que Tune regarde la proportion qui commence par un pair et l'autre celle qui commence par un impair.

Et celle-ci n'est pas beaucoup différente de votre dernière (*), car, ayant pris un triangle primitif, je me sers de son hypoténuse pour le premier terme, et pour l'autre, j'ôte d'un des côtés du triangle la différence de l'autre côté k l'hypoténuse.

Exemple : Que 20, 21, 29 soit le triangle, 29 le premier terme; pour l'autre, j'ôte de 20 la différence de 21 k 29, ou de 21 la différence de 20 à 29, et restera 12. On aura donc 29 et 12 dont les quarrés composeront le triangle cherché.

3. Votre première règle (^) pour trouver trois quarrés en proportion arithmétique a le même défaut que la précédente, car on ne les peut pas trouver tous par icelle. Par exemple, on ne trouvera pas les quarrés de r, 29, 4'» ou de 17, 53, 73. Mais, par la proposition que vous mettez en l'écrit particulier, on les peut tous comprendre.

Vous pouviez aussi donner aisément par la première règle le troisième quarré, sans obliger a prendre la différence des deux quarrés trouvés. Comme : en l'exemple que vous apportez, le quarré — 2 de 5 est 23; le quarré suivant -h i est 37 : si on veut avoir le troisième nombre, il faut ajouter a 37 le double de 5, et on aura 47-

Si on prenoit 4» son quarré — 2 est 1 4 ; le quarré suivant -h i est 2G, auquel ajoutant 8, double de 4» on aura 3^|. Les trois nombres, étant réduits, sont 7, i3, 17.

La méthode dont je me sers pour trouver ces trois quarrés proportionaux, est tout autre que celle-lk ('), et voici comme on procède pour les avoir tous :

(*) Cello règle de Frenicle revient en effet à la seconde de Fermât.

(*) Cp. Lettre XLVIH, 8. — La règle générale de Fermât paraît avoir consisté do fait à prendre pour les racines des trois carrés les nombres r^ — 2.y', r^ -\-irs -^ 7.x^, r* -h ^rs -f- 2.f*. La première règle revenait à supposer s = \.

(') Cette règle de Frenicle, revenant à prendre pour les racines des trois carrés en progression arithmétique les nombres /?*— •?.pq — 7', p^-{- q^^ p'-f- ipq — ry*, concorde en réalité avec la règle générale de Fermât {voir note précédente), si l'on a /; = r-f-f et 7 = .y.