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et on les peut continuer tant qu'on voudra en continuant les triangles.

Voilà donc pour la première chose qui appartient aux dits quarrés.

5. La seconde est de trouver les dits trois quarrés en telle sorte qu'ils soient comme enchaînés l'un à l'autre et que le dernier et plus grand des trois soit le premier des trois suivans : comme on peut voir en ces colonnes, la fabrique desquelles je vous envoierai au premier voyage; toutefois j'estime que par l'inspection vous la jugerez aisément.

Il y a aussi des voies pour avoir les différences égales desdits quarrés : car, en la première colonne, si on multiplie 24 par les sommes de tous les quarrés, lesquelles sommes sont i, 5, i4» 3o, etc., on aura

( » ) Frenicio reprend la conslruclion de trois carrés en progression arithmétique d'après les séries de triangles commençant par 5, 12, i3; 8, i5, 17.

238 ŒUVRES DE FERiMAÏ. - COHIIESPONDANCE.

les diirérences des quarrés, et en la seconde colonne, il faudroit multiplier 24 par les sommes des seuls quarrés impairs.

II y a d'autres choses à considérer là-dessus, que je n'ai pas maintenant le loisir de déduire plus au long.

6. Me voici maintenant à l'endroit de votre Lettre, auquel vous parlez des nombres qui sont la somme des deux petits côtés d'un triangle (') et, sur ce sujet, je vous dois ôter de l'opinion que vous avez que je ne susse pas que chacun de ces nombres peut servir de différence il une infinité de quarrés et de doubles quarrés. Vous vous êtes fondé sur un avertissement que je donnois, que les dits nombres sont toujours deux fois la différence d'un quarré et d'un double quarré; mais je n'ai pas dit qu'ils fussent seulement deux fois la différence d'un quarré et d'un double quarré, comme vous croyez avoir lu. II faudroit avoir bien peu de pratique aux nombres pour ne s'être pas aperçu d'abord que 7 est quatre fois la différence entre de fort petits nombres : savoir entre i et 8, 2 et 9, 18 et 2j, 25 et 32. Kt je ne vous ai pas coté cela pour une propriété des dits nombres; mais, vous ayant demandé le moyen de trouver le triangle dont un nombre donné est la somme des cotés, sans avoir les quarrés et doubles quarrés dont il est la difïérence (^), il falloit vous avertir que les dits nombres étoient toujours deux fois la différence d'un quarré et d'un double quarré.

(iar il y a deux couples don! je me sers pour avoir le dit triangle. Par exemple, pour avoir le triangle dont 7 est la somme des deux <*()tés, j(» me s(M*s de i et 8, et de 2 et 9. Et, pource que j'étois pressé, je n'eus pas le loisir de m'éclaircir davantage. Je n'entends pas que les dits coupl(»s soient 2, 9 et 18, 2j, comme vous avez cru, mais t, 8 et 2, 9; et ce que j'observe en ceci est que les dites sommes sont deux fois la différence d'un quarré et d'un double quarré, en chaque couple desquels il y a un nombre moindre que la différence donnée : savoir, à un des couples le quarré est moindre, et a l'autre couple c'est le

« ») roir LcUres XLVHI, 11, et XLIX, 9. r») To/r Lettre XLIX, 10.