LV. - 16 FEVRIER 16fc

6. Vous ne m'écrivez pas à quoi il a tenu que je n'aie pas eu de réponse de M. l'abbé de Cliampbon (*) depuis si longtemps, ni si vous avez parlé à M. de La Chambre, duquel je voudrois, avant que rien tenter pour moi, que vous sussiez h quoi la chose tint l'année

issée.

FERMAT A MERSEiNNE C).

LUNDI IG FÉVRIER i6ï3,

Mon Révérend Père,

1. Je vous remercie de vos soins a l'endroit de M. de La Chambre, et à lui-même de ceux qu'il prit à Lyon pour moi. M. de Marmiesse, notre avocat-général, m'ayant confirmé ce que vous venez de m'écrire, lorsqu'il sera temps, je ne doute point qu'il n'ait assez de crédit pour faire tenir cette vieille promesse que M. le Chancelier a faite depuis si longtemps en ma faveur (').

2. Je suis bien aise que mes solutions (*) aient plu à M. de Saint- Martin; elles sont purement de mon invention, et M. de Frenicle le pourra assurer que j'ai trouvé par ma méthode la solution de tout ce qu'il m'avoit proposé sur pareil sujet. Ce n'est pas qu'il ne l'eût trouvé sans doute longtemps auparavant, mais j'ai eu assez de bonheur pour découvrir par d'autres voies ou quelquefois par les mêmes ce qu'il me» proposoit, et je crois que les démonstrations de toutes ces propositions pourront malaisément venir d'ailleurs que de moi, si je ne me trompe.

(») Cp. Lettres LI, 4 et 6; LU, 2.

(*) Lettre inédite.

(') Cp. Lettres LI, 1; LU, 2; LIV, 6. {^) Voir Lettre LIV, 3 et 4.

3. Si M. de Saint-Martin est exercé aux questions des nombres, voici ce que je prends la liberté de lui proposer en revanche de ses deux questions :

Troiwer deux triangles rectangles dont les aires soient en raison donnée, en sorte que les deux petits côtés du plus grand triangle différent par runité.

Trouver deux triangles rectangles en sorte que le contenu sous le plus grand côté de l'un et sous le plus petit du même soit en raison donnée au contenu sous le plus grand et le plus petit côté de l'autre ( * ).

Après qu'il aura résolu ces deux questions, je lui en fournirai de plus difFiciles.

4. Que s'il croyoit que les solutions des deux que je lui ai données ne soient pas de moi, il m'obligera de choisir des plus difficiles qui sont résolues dans les écrits qu'il a de M. Frenicle, et, si je n'en fais pas la solution, je consens de ne voir point le dit travail de M. Frenicle, que je désire plutôt voir pour apprendre quelles sont les questions, que pour la solution qu'il en donne. Ce n'est pas que je ne l'estime» beaucoup, mais c'est que je m'imagine que je n'aurai pas beaucoup de peine à la trouver.

Si je puis trouver du loisir pour satisfaire au désir de M. de Saint- Martin sur le sujet de ma méthode de maximis et minimis et sur celle dont je me sers à la résolution de ses questions numériques, je serai ravi de lui plaire et à vous qui me l'ordonnez.

5. Pour les lignes courbes auxquelles vous m'écrivez que M. de Roberval a trouvé d'autres lignes égales, sur lequel sujet vous m'alléguez l'hélice (^), j'appréhende qu'il y aura de l'équivoque. 11 semble d'abord, par la raison des inscrites et circonscrites, que l'hélice

(*) Foir rObscrvalion XXX sur Diophante.

(*) Ce passage donne une date pour la découverte par Robcrval de l'égalité entre la longueur des arcs de la spirale d'Arehiniède et ceux d'une parabole, égalité démontrée plus tard par Pascal. Foir Tome I, p. ^oG, note i.

LVl. - 7 AVRIL 16i3. 25:J

(rAn-liimède esl la moitié do la cireoniVreinM* du cerrle qui serl ii la ilf*crire, et c'étoit une pensée que j'avois eue il y a fort lon};t«'nlp^, mais je me détrompai d'abord. Si c'est celle de M. de Roberval. je m'assure qu'il ne sera pas lon$rtemps de même avis, et qu'il n'aura besoin que d'une seconde réflexion pour se dédire.

Je suis en peine de savoir des nouvelles de M. de (-areavi; vous m'oblijpçerez de m'en donner et de me croire, mon Révérend Père,

Votre très humble et très affectionné seniteur.

Fermât.

A Toulouse, ce i6 février i64'>.

FER.MAT A MERSENNE ( ' )

MARDI 7 AVRIL 16tô.

.MoxsiEiR MON Révérend Père,

1. Vous n'eûtes pas de mes lettres par le dernier courrier, à cause fl'une petite absence qui m'a tenu huit jours à la campagne pendant la fête. Vous aurez maintenant la réponse que je fais à M. de Brulart ( ' ) jointe à celle-ci; je l'ai écrite à la hâte, comme vous verrez, et c'est la raison qui m'oblige à vous prier qu'il n*en soit pas tait de copie et qu'elle ne sorte pas d'entre les mains de M. de Brulart.

I » ; Lellre inédite.

<'i Le personnage désigné dans les Lettres LIV et LV sous le DOin de Saint -Martin >'appelait Pierre Bruslart de Saint-Martin et était collègue de Carcavi au Grand-t'.0Dseil. Il semble qu'ici il s'agit encore de lui ( Cp. LV. 4).

La réponse dont parle Fermât est perdue; on voit qu'elle concernait sa méthode de maximis et minimi'x.

2oi ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE.

Ce n'est pas que ce que j'y ai mis ne puisse être expliqué assez aisément, mais il y a quelque petit équivoque où on me pourroit accuser (le négligence, comme lorsque j'ai dit que les deux derniers termes de l'équation qui se trouvent mesurés par E sont en plus grande raison qu'aucuns autres qui leur soient relatifs dans les plus hautes puissances. On pourrait dire qu'à le prendre cons^ertendo , ils sont en moindre raison qu'aucuns autres de leurs relatifs; mais c'est en ma règle et en mon raisonnement toute la même chose, et les mémos conséquences se déduisent de l'un et de l'autre.

Il y pourroit encore avoir équivoque en ce que j'ai dit : que non seulement A — E doit donner la même équation que A-f-E, mais encore que, si A-hE donne moins que A, A — E doit aussi donner moins que A. Car il semble d'abord que, si A — E donne la même équation que A-f-E, qu'il est infaillible que, l'un donnant moins que A, l'autre donnera de même moins que A; ce qui pourtant n'est pas et qu'il me semble avoir suffisamment expliqué par l'exemple que j'ai ajouté.

Mais, pour ôter tout équivoque, lorsque j'ai dit que A — E doit donner la même équation que A-f-E, j'entends que par la position de A — E, en suivant ma méthode, on doit trouver A égal à une même quantité que si nous employons A-f-E par la même méthode. Mais, lorsque j'ai ajouté, en la seconde condition, que si iV-f-E donne moins que A, A — E doit de même donner moins que A, j'entends que si, par la position de A-i-E, les homogènes qui représentent le plus grand sont moindres que les homogènes qui représentent le plus grand en la position de A seul, de même, en la position de A — E, les homogènes qui représentent le plus grand doivent être moindres que les homogènes qui représentent le plus grand en la position de A seul.

Voilà ce que j'ai cru vous devoir dire sur ce sujet. Car pour rendre la chose entièrement claire et parfaitement démontrée, il faudroit un Traité entier, que je ne refuirai pas de Aûre, dès que je pourrai trouver du loisir assez pour cela.

LVl. — 7 AVRIL 1613. ±53

2. J*atlends la solution de quelques-unes de mes questions numériques ( • K et vous prie de m'apprendre quand est-ce que M. Freniole sera de retour à Paris, et si M. de Sainte-Croix est en état de soudn* des questions.

3. Pour les parties aliquotes, j'ai découvert des choses excellentes et je puis vous envoyer quelques multiples de mon invention autres que ceux que vous avez mis dans la préface du petit Livre Des Pensées de Galilée ( -), et pour ne vous laisser plus en doute que je ne possède la voie infaillible de ces questions, j*ai relu ces jours passés une question que vous me faisiez par ordre de M. Frenicle, dont je vous envoie présentement la solution.

4. Vous me demandiez donc quelle proportion a le nombre, qui se produit des nombres suivants, avec ses parties aliquotes :

2 14 74>^ 364 800000, '*» '9» 4^» 61, 83, 169, 223, 33 1, 379, Goi, 757, i)6i, 1201, 7019, 823543, 616318177, 656i, ioo895 598i6c>.

Vous me demandiez ensuite si ce dernier nombre est premier ou non, et une méthode pour découvrir dans Tespace d'un jour s'il est premier ou composé.

A la première question, je vous réponds que le nombre qui se fai! de tous les nombres précédents multipliés entre eux, est sous-quintuple de ses parties.

(>) foir Le! ire LV, 3.

( ' ) Les nouvelles pensées de Galilée, mathématicien et ingénieur du due de Florence, où il esl traité de la proportion des mouvements naturels et violents et de tout ce qu'il y a de plus subtil dans les Mechaniques et dans la Physique. Où Ton verra d'admirables inventions et démonstrations inconnues jusqu'à present. Traduit d'Italien en François. — A Paris, chez Henry Guenon, rue Saint-Iacques, à l'Image de S. Bernard, pres des lacobins, M.DC.XXXIX. Avec Privilège du Roy.

Dans la préface de ce volume, Mersenne ne donne d'après Fermât que les nombres déjà insérés dans celle de V Harmonie imiver.teUe de i636 {voir Pièce \\,0. Il en a ajouté divers autres dus à Sainte -Croix, Descartes (un ejccdlcnt Géomètre ^, Freniole mn exceUrtii esprit I. an reste sans aucune désignation par nom propre.

A la seconde question, je vous réponds que le dernier de ces nombres est composé et se fait du produit de ces deux :

898423 et ii2 3o3, qui sont premiers (*).

Je suis toujours, mon Révérend Père,

Votre très humble et très affectionné serviteur.

Fermât.

A Toulouse, ce 7 avril 164 3.