JANVIER

Mon Rkvkrend Père,

1. Je vous rends mille grâces de votre souvenir et des propositions (^) que vous m'avez fait la faveur de m'envoyer.

Celles de la parabole, de Thélice et du conoïde parabolique sont si visiblement fausses que ce seroit perdre le temps que de les réfuter. Néanmoins, si vous me l'ordonnez, je le ferai.

2. Je m'imagine que vous avez vu maintenant mes Lieux ad super- Jiciern ('). Pourvu qu'on ne m'écrive pas qu'on les savoit auparavant que d'avoir vu mon Discours, comme on a ci-devant fail de quelquesunes de mes pièces, je serai assez satisfait; du reste, vous et ceux qui les verront, en serez les juges.

Je dois maintenant répondre aux deux questions numériques de M. de Saint-Martin (*).

3. I^a première est de trouver trois triangles rectangles desquels les aires fassent les trois côtés d*un triangle rectangle (^).

(') Lettre inédite, non datée, mais qui, intermédiaire entre la Lettre LU du 1 3 janvier et la Lettre LV du i6 février i643, doit être du 27 janvier ou du 3 février, jours de courrier. Nous avons supposé la première de ces deux dates.

(*) Nous n'avons trouvé aucune autre indication sur ces propositions.

(3) Voir Lettre LU, 1.

(^) Voir Lettre LH, 6.

(*; Voir l'Observation X.XIX sur Diophante, Tome I, p. 3*2 1.

Fermât. — U. 3'î

Les trois triangles qu'on demande sont ceux-ci :

S'il en veut d'autres qui satisfassent à la question, je lui en puis fournir infinis et, s'il veut ma méthode pour les trouver, je lui en ferai part. Cependant il pourra éprouver si les trois que je lui envoie satisfont à ladite question.

4. La seconde question est celle-ci (*) : Un nombre étant donné, déterminer combien de fois il est la différence des côtés d*un triangle qui ait un quarré pour différence de son petit côté aux deux autres côtés. Le nombre qu'il donne est 1 8o3 6oi 800.

Je réponds qu'en l'exemple proposé, il y a 243 triangles qui satisfont à la question, et qu'il n'y en peut pas avoir davantage.

La méthode universelle dont je lui ferai part, s'il me l'ordonne, est belle et dfgne de remarque, bien que je ne doute point que M. Frenicle ne lui ait baillé tout ce qui concerne ces questions.

Je ne vous envoie ces deux solutions que pour vous faire voir que les mystères numériques de M. Frenicle me doivent être communiqués aussi tôt qu'à tout autre, et que M. de Saint-Martin n'y doit pas faire difficulté.

5. Je vous prie m'envoyer au plus tôt le livre que vous m'avez promis (^), et faire en sorte que M. de Carcavi me fasse copier la réponse |)Our que je la puisse voir.

Je prendrai la liberté d'écrire par la première commodité à M. de Saint-Martin sur l'occasion de ces deux questions qu'il a voulu m'ètre proposées.

Cependant je vous prie me croire toujours, Monsieur,

Votre très humble et très affectionné serviteur.

Fermât.

(») Cp. Lcllrc L, 2.

(*) Cp. Leitres LI, 3 et LU, 2.